IMO 2009, Problema 5

Enviado por jesus el 1 de Agosto de 2009 - 23:58.

Determinar todas las funciones f del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos a y b, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden

$a, f(b) \textrm{ y } f(b + f(a) - 1)$

(Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados).

Sugerencia

Por:

jesus

Sugerencia:

Demuestra que si $1$ , $a$ y $b$ son los lados de un triángulos con $a$ y $b$ enteros positivos, entonces $a = b$ .
Usa el paso anterior para demostrar que $f(b) = f(b + h)$ donde $h = f(1)-1$ .
Demuestra que $h=0$ . O de lo contrario $f$ será una función cíclica de orden $h$ y busca de aquí una contradiccón.
Demuestra que $f(f(a))=a$ para toda $a$ .
Analiza qué pasa cuando en un triángulo de lados enteros uno de sus lados mide 2.
Usa tu observación junto con las propiedades que ya has encontrado de $f$ para demostrar que $f(x) = x$ par toda $x$ .

Ver también:

IMO 2009 Problema 1

Ver también:

IMO 2009 Problema 2

Ver también:

IMO 2009, Problema 3

Ver también:

IMO 2009 Problema 4

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