Sucesión de cuadrados

Enviado por jmd el 6 de Abril de 2011 - 09:58.

Demostrar que todos los números de la siguiente sucesión son cuadrados perfectos: 49, 4489,444889,...

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Elabora una conjetura a partir de los primeros elementos de la sucesión.

Solución

Fecha:

6 Abr 2011

Solución:

Después de corroborar que los primeros tres son cuadrados perfectos ( $7^2$ , $67^2$ , $667^2$ ) se puede conjeturar que el número de n dígitos $66...67$ es la raíz de $44...488...89$ (2n dígitos, n cuatros). Haremos una demostración por inducción.

Sea

$f_n=66...67$ (n dígitos), y hagamos la hipótesis de inducción de que

$f_n^2=44...488...89$ (2n dígitos, n cuatros). El caso base es obvio.

Ahora hagamos el paso de inducción:

$f_{n+1}=6\times10^n+f_n$

Entonces

$f_{n+1}^2=(6\times10^n+f_n)^2$

$=36\times10^{2n}+12f_n\times10^n+f_n^2$

Es fácil comprobar (con papel y lápiz) que

$12f_n=800...04$ (n+1 dígitos)

Por tanto

3600...0000...00 (2n ceros)

800...0400...00

44...4488...89

Lo cual suma:

4444...4888...89

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