USAMTS (Problema 5)

Restando las dos expresiones $a_{n+1}=2a_{n}^2 - 1$ y $a_n=2a_{n-1}^2 - 1$, se obtiene que:

$a_{n+1} - a_n=2( a_{n} - a_{n-1} )( a_{n}+a_{n-1} )$

Sustituyendo por la definición de $b_n$, la igualdad anterior se transforma en

$b_n=2b_{n-1}( a_{n}+a_{n-1} )$

Tomando valores absoutos de ambos lados de la igualdad se obtiene que:

$$| b_n | =| b_{n-1}| |2( a_{n+1}+a_{n-1} )|$$

Primero observemos que: $|2( a_{n+1}+a_{n-1} )|>=1$

Para probar esto usamos las siguientes tres condiciones sobre $a_n$:

a_n&<&0\\ a_{n+1}=2a_n^2-1&<&0\\ a_{n+2}=2a_{n+1}^2-1=2(a_n^2-1)^2-1&<&0

La condición (2), nos dice que $|a_n|<\sqrt{1/2}$, pero por la condición (1) se obtiene que $a_n>-\sqrt{1/2}$

Por otro lado, la condición (3), nos dice de manera análoga que $2a_n^2-1> -\sqrt{1/2}$. Y, al despejar $a_n$ se obtiene:

$$|a_n| > \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}} \Longrightarrow a_n < - \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}} <-1/4$$

Llamemos $\epsilon= 4 * \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}$. Con este valor para $\epsilon$ se puede escribir la desigualdad como:

a_n&<& \frac{-\epsilon}{4}\\ \epsilon&>&1\\

Como lo anterior es para todo valor de n se sigue que:

$$|2( a_{n}+a_{n-1} )| \geq 2|a_{n}|+2|a_{n-1}| > 2\frac{\epsilon}{4}+ 2\frac{\epsilon}{4} = \epsilon > 1$$ .

Hagamos un pequeño resumen de algunas cosas que hemos probado y que serán de utilidad:

1. La condición $a_n<0$ para toda n implica que $-1/\sqrt{2}<a_n <0$
2. La sucesión $b_n=a_{n+1}-a_n$ satisface que $| b_n | =| b_{n-1}| |2( a_{n+1}+a_{n-1} )|$
3. Y por último probamos que $|2( a_{n}+a_{n-1} )|> \epsilon > 1$.

Con el punto 2 y 3 se concluye que $|b_n|>\epsilon|b_{n-1}|$, donde $\epsilon>1$ (a menos que $|b_n|$ y $|b_{n-1}|$ sean cero).

Entonces:

$|b_n|>\epsilon|b_{n-1}|>\epsilon^2|b_{n-2}|>\cdots >\epsilon^{n-1}|b_1|$

Ahora bien, como $\epsilon>1$ se tiene que $\epsilon^{n-1}|b_1|$ crece y no está acotada, es decir, no hay ningún número que sea mayor que $\epsilon^{n-1}|b_1|$ para todo valor de n. En consecuencia, existe algún valor de n tal que $\epsilon^{n-1}|b_1|> -1/\sqrt{2}$ (de lo contrario $-1/\sqrt{2}$ acotaría a la sucesión $\epsilon^{n-1}|b_1|$). Por último, para es número n se tendría que $|b_n|>-1/\sqrt{2}$.

Lo anterior es una contradicción a que $a_n$ es negativo para toda n. Pues, por el punto 1 (de nuestra lista de cosas probadas) $a_{n+1}$ y $a_n$ están en el intervalo $(-1/\sqtr{2},0)$ lo que ocaciona que $|b_n|=|a_{n+1}-a_n|$ debe ser menor que $-1/\sqtr{2}$ lo que es la contradicción señalada.

Entonces, para no tener dicha contradicción es necesario que $|b_n|=0$ para todo valor de (De ser cero sólo una vez deberá ser cero siempre, esto se podrá entender mejor con el argumento que seguirá). En consecuencia,

|b_1|=0 &\Longrightarrow& |a_2-a_1|=0 \\ & \Longrightarrow& a_1=a_2 \\ &\Longrightarrow& a_1 = 2*a_1^2-1\\ & \Longrightarrow& c=2*c^2-1

Resolviendo esta última cuadrática se tiene que $c=1, -1/2$, como este número debe ser negativo se concluye que la única posibilidad es que $c=-1/2$.

NOTA: Este argumento de cierre muestra en general que si $|b_n|=0$ para algún número, entonces $a_n$ debe ser $-1/2$ lo que provoca que los valores toda la sucesión (antes y después de $a_n$) sea $-1/2$ debido a que $-1/2=2*(-1/2)^2-1$.