Inferencias de paridad

Puesto que cada uno de los $x_i$ es 1 o -1, lo mismo es cierto de los productos $x_jx_{j+1}$. Y para que la suma de esos productos sea nula es necesario y suficiente que la mitad sea 1 y la mitad -1. Por tanto $ n $ no puede ser impar. Es decir, $ n $ es par, digamos $n=2k.$

Por otro lado, la mitad de los productos son iguales a -1, así que su producto es $(-1)^k.$ Pero la otra mitad es igual a 1, y su producto es igual a $1^k$. Y si los multiplicamos todos el resultado es $(-1)^k\cdot(1)^k.$ Y esta cantidad es 1, dado que $x_1x_2\cdotx_2x_3\cdot\ldotsx_nx_1=(x_1\cdotx_2\ldotsx_n)^2=1.$ Por tanto $k$ es par. Luego, $n=2k$ es múltiplo de 4.