Sea ABC un triángulo rectángulo con ∠ABC=90, BC=72, AC=78. Se considera un punto D sobre el lado AB de tal modo que 2AD=BD. Sea O el centro de la circunferencia que pasa por los puntos A y D y es tangente al lado BC. Encuentra la medida del segmento OB.
Sea R el punto de tangencia
Sea R el punto de tangencia de BC con la circunferencia. Aplicamos Teorema de Pitágoras en el triángulo ABC con los datos del cateto y la hipotenusa y obtenemos que AB=30. Como AB=AD+BD=AD+2AD=3AD, AD=10 y BD=20. Aplicando potencia de punto, BR2 = AB⋅BD = 30⋅20 = 600. Así, PR = √600.
Consideremos la altura de AOD bajada desde O, y ésta corta a AD en M. Al ser OD=OA por ser radios, AOD es isósceles y M es punto medio de AD con MO perpendicular a AD. Así AM=DM=5, entonces BM=BD+DM=20+5=25. OM=BR al ser ambas perpendiculares a AB. Por último, consideramos el triangulo rectangulo BMO, aplicamos Teorema de Pitágoras y tenemos que OB2 = BM2 + OM2 = 252 + (√600)2 = 12252; Por lo tanto, OB=35.
Hola José Luis, tu solución
Hola José Luis, tu solución es un poco distinta a la oficial en la parte de BR2=600 la oficial usa de nuevo pitágoras y no potencia del punto, el cual es un argumento muy limpio. Te comento la mia por si te interesa conocer otras soluciones:
Haciendo B=(0,0) el origen y AB el eje de las ordenadas no es difícil llegar a que A=(0,30) y D=(0,20) si asignamos a O las coordenadas (x,y) como la circunferencia es tangente a BC entonces tiene radio y y como A,D pertenecen a esta circunferencia las distancias a O son iguales y también los cuadrados de las disttancias,hay que usar la formúla de la distancia para calcular OA y OD así:
x2+y2−60y+900=x2+y2−40y+400=y2
Saludos
germán