Ejercicio 3.1.5

Sea $P$ un punto en $\ell$, considermos $\pi = P \oplus m$. Procederemos de la siguiente manera:

1. Primero probaremos que $\pi$ es un plano.
2. Que $Q = \pi \cap n$ es un punto.
3. Que la recta buscada es la que une $P$ con $Q$.
4. Demostaremos que la recta es única.

Para la segunda parte, necesitamos probar que dos $(\ell, m , n)$-transversales distintas nunca se intersectan (son oblicuas).

Pi es un plano

Como en $P$ no está en $m$ (ya que $P \in \ell$ y $ell \cap m = \empty$) se tiene que $dim(P \cap m ) = -1$.

Luego, usando la identidad de grassman, se llega a que
$$dim(P \oplus m) = dim(P) + dim(m) - dim(P \cap m) = 0 + 1 -(-1) = 2$$

Por lo que, efectivamente  $\pi = P \oplus m$ es un plano.

El plano pi y la recta ene se intersectan en un punto.

Como ya demostramos en clases anteriores (ver ejemplo 3.9 parte 7 del libro), en los espacios proyectivos de dimensión 3, un plano y una recta que no se encuentra en él se intersectan en único punto.

Ahora bien, la recta $n$ no se encuentra sobre $\pi$ pues, en caso contrario, $n$ y $m$ no podrán ser oblicuas pues ambas estarán contenidas en $pi$. Se sigue que $n$ y $pi$ se intersectan en único punto que llamaremos $Q$.

La recta que pasa por P y Q es la recta buscada.

Llamemos $r = P \oplus Q$ (equivalentemente, $r$ es la recta que pasa por $P$ y $Q$). Notemos que $P$ y $Q$ están en $\pi$, y por lo tanto $r$ está en $\pi$ (una recta y un plano deben intersectarse en un único punto o de lo contrario la recta vive en el plano). Por otro lado, por definición de $\pi$, la recta $m$ también vive en $\pi$. Entonces, como hemos visto (ver ejemplo 3.9 parte 6 del libro), dos rectas en un plano se intersectan en un único punto, llamemos $R$ a dicho punto.

Notemos entonces que la recta $r$ satisface lo requerido, es más, tenemos que satisface las siguientes identidades:

P =& r \cap \ell \\ Q =& r \cap n \\ R =& r \cap m \\

Demostración de la unicidad.

Supongamos que existi otra recta $r'$ que pase por $P$ y que intersecte tanto a $n$ como a $m$. Observemos que $r' \cap m \neq r \cap m$, pues en caso contrario, $r'$ será igual a $r$ ya que tendrán dos puntos en común.  De manera análoga, $r' \cap n \neq r \cap n$.

Llamemos $Q' = r' \cap n$ y $R'= r' \cap m$ ($Q$ y $R$ estarán definidos como antes).

Consideremos $\pi_0 = r \oplus r'$ (no lo usaremos, pero $\pi_0 = \pi$), es posible probar que $\pi_0$ es un plano (ya que $r \cap r' = P$). Notemos que $Q$ y $Q'$  están en $\pi_0 \cap n$, de donde se sigue que $n$ está contenido en $\pi_0$, y de manera análoga se puede demostrar que $m$ está contenido en $\pi_0$, lo que contradice el hecho de que $m$ y $n$ sean oblicuas (de vivir en un mismo plano se intersectarían).

Dos transversales distintas nunca se interceptan

Sean $r$ y $s$ dos transversales distintas. De interseptarse en un punto $X$ se podría hacer un argumento parecido al anterior. Veamos cómo.

Notemos que $r$ y $s$ intersectan en puntos distintos a cada una de las rectas $\ell$, $m$ y $n$, es decir, $r \cap \ell \neq s \cap \ell$, $r \cap m \neq s \cap m$ y $r \cap n \neq s \cap n$. De no ser cierta una de estas desigualdades tendríamos que existirán dos transversales distintas (a saber, $r$ y $s$) pasando por el mismo punto, lo que contradice lo ya probado.

Ahora bien, de intersectarse $r$ y $s$ se tendría que $\pi_1 = r \oplus s$ será un plano. Dicho plano intersectará en dos puntos distintos a cada una de las rectas $\ell$, $m$ y $n$, por lo que, todas ellas viviran en $\pi_1$, lo que es una contradición a que eran oblicuas.