Usaremos la idea propuesta en la sugerencia, es decir, demostraremos que:
Sr⊕Sn=⋃P∈Sr,Q∈SnP⊕Q
La primera contención
Primero demostraremos la primera contención, para esto bastará probar lo siguiente:
Dados P∈Sr y Q∈Sn con P≠Q, entonces P⊕Q⊂Sr⊕Sn
La demostración es bastante sencilla. Como Sr y Sn están contenidos en S=Sr⊕Sn tambien se tendrá que P y Q estarán en S.
Ahora bien, llamemos ℓ=P⊕Q, claramente ℓ es una recta (pues P≠Q). Recordemos que ℓ=P⊕Q es el espacio más pequeño que contiene tanto a P como a Q, por lo tanto, ℓ debe estar contenido en cualquier espacio que contenga tanto a P como a Q, en este caso, ℓ debe estar contenido en S, lo que termina la prueba de la primera contención.
La otra contención
La otra contención requiere más habilidad. Para ello tenemos que probar que:
Si X es un punto en Sr⊕Sn, entonces, existen P∈Sr y Q∈Sn tales que X∈P⊕Q
Para demostrar esta afirmación elijamos P como un punto en (X⊕Sn)∩Sr y Q un punto en (X⊕P)∩Sn. No es claro que estos puntos existan pero, de exitir, se tendrá resuelto el problema. No es muy dificil de verlo, ¡piénsenlo! .
Si X estuviera contenido en Sr o Sn la afirmación sería obviamente cierta, pues bastará con hacer P o Q igual a X. Entonces, sin perdida de generalidad supondremos que X no está en Sr ni en Sn. Luego,
dim(X⊕Sn)=dim(X)+dim(Sn)−dim(X∩Sn)=0+n−(−1)=n+1
Por otro lado, como (X⊕Sn)⊕Sr contiene a Sn como a Sr entonces: Sr⊕Sn⊂(X⊕Sn)⊕Sr. Además, como X y Sn están en Sr⊕Sn, entonces (X⊕Sn)⊂Sr⊕Sn, pero como también Sr⊂Sr⊕Sn, entonces (X⊕Sn)⊕Sr⊂Sr⊕Sn. En conclusión, de las dos contenciones anteriores se sigue que: (X⊕Sn)⊕Sr=Sr⊕Sn.
Ahora bien,
r+n +1&\geq dim(S_r \oplus S_n) \\ &= dim\big((X \oplus S_n)\oplus S_r \big)\\ &= dim(X \oplus S_n) + \dim(S_r) - dim\big((X \oplus S_n)\cap S_r \big)\\ &= (n+1) + r - dim\big((X \oplus S_n)\cap S_r \big)\\
De donde se sigue que: dim((X⊕Sn)∩Sr)≥0 Por lo que (X⊕Sn)∩Sr no puede ser vacio, demostrando la existencia de P.
Ahora bien, como P está en (X⊕Sn)∩Sr entonces está en Sr, pero como X y Sr son ajenos, se tiene de inmediato que P≠X. Luego, P⊕X es una recta.
Entonces, por argumentos similares a los dados anterioremente, se puede concluir que: (P⊕X)⊕Sn=X⊕Sn.
Luego,
n+1 &= dim(X \oplus S_n)\\ &=dim\big((P \oplus X) \oplus S_n \big)\\ &=dim(P \oplus X) + dim(S_n) - dim \big((X \oplus P) \cap S_n\big)\\ &=1 + n - dim \big((X \oplus P) \cap S_n\big)
En consecuencia, se tiene que dim((X⊕P)∩Sn)=0.
Por lo tanto (X⊕P)∩Sn no es vacio, lo cual prueba la existencia de Q, y ya acabamos.