Ejercicio 3.1.7

Usaremos la idea propuesta en la sugerencia, es decir, demostraremos que:

$$S_r \oplus S_n = \bigcup_{P\in S_r, Q\in S_n}{P \oplus Q}$$

La primera contención

Primero demostraremos la primera contención, para esto bastará probar lo siguiente:

Dados $P \in S_r$ y $Q \in S_n$ con $P \neq Q$, entonces $P \oplus Q \subset S_r \oplus S_n$

La demostración es bastante sencilla. Como $S_r$ y $S_n$ están contenidos en $\mathcal{S} = S_r \oplus S_n$ tambien se tendrá que $P$ y $Q$ estarán en $\mathcal{S}$.

Ahora bien, llamemos $\ell = P \oplus Q$, claramente $\ell$ es una recta (pues $P \neq Q$). Recordemos que $\ell = P \oplus Q$ es el espacio más pequeño que contiene tanto a $P$ como a $Q$, por lo tanto, $\ell$ debe estar contenido en cualquier espacio que contenga tanto a $P$ como a $Q$, en este caso, $\ell$ debe estar contenido en $\mathcal{S}$, lo que termina la prueba de la primera contención.

La otra contención

La otra contención requiere más habilidad. Para ello tenemos que probar que:

Si $X$ es un punto en $S_r \oplus S_n$, entonces, existen $P \in S_r$ y $Q \in S_n$ tales que $X \in P \oplus Q$

Para demostrar esta afirmación elijamos $P$ como un punto en $(X \oplus S_n) \cap S_r$ y $Q$ un punto en $(X \oplus P) \cap S_n$. No es claro que estos puntos existan pero, de exitir, se tendrá resuelto el problema. No es muy dificil de verlo, ¡piénsenlo! .

Si $X$ estuviera contenido en $S_r$ o $S_n$ la afirmación sería obviamente cierta, pues bastará con hacer $P$ o $Q$ igual a $X$. Entonces, sin perdida de generalidad supondremos que $X$ no está en $S_r$ ni en $S_n$. Luego,

$$dim(X \oplus S_n) = dim(X) + dim(S_n) - dim(X \cap S_n) = 0 +n -(-1)  = n+1$$

Por otro lado, como $(X \oplus S_n) \oplus S_r$ contiene a $S_n$ como a $S_r$ entonces: 

$$S_r \oplus S_n \subset (X \oplus S_n) \oplus S_r.$$   Además, como $X$ y $S_n$ están en $S_r \oplus S_n$, entonces $(X \oplus S_n) \subset S_r \oplus S_n$, pero como también $S_r \subset S_r \oplus S_n$, entonces $$(X \oplus S_n) \oplus S_r \subset S_r \oplus S_n.$$ En conclusión, de las dos contenciones anteriores se sigue que: $$(X \oplus S_n) \oplus S_r = S_r \oplus S_n.$$

Ahora bien,

r+n +1&\geq dim(S_r \oplus S_n) \\ &= dim\big((X \oplus S_n)\oplus S_r \big)\\ &= dim(X \oplus S_n) + \dim(S_r) - dim\big((X \oplus S_n)\cap S_r \big)\\ &= (n+1) + r - dim\big((X \oplus S_n)\cap S_r \big)\\

De donde se sigue que:

$$dim\big((X \oplus S_n)\cap S_r \big) \geq 0$$ Por lo que $(X \oplus S_n)\cap S_r$ no puede ser vacio, demostrando la existencia de $P$.

Ahora bien, como $P$ está en $(X \oplus S_n)\cap S_r$  entonces está en $S_r$, pero como $X$ y $S_r$ son ajenos, se tiene de inmediato que $P \neq X$. Luego,  $P \oplus X$ es una recta.

Entonces, por argumentos similares a los dados anterioremente, se puede concluir que:

$$(P \oplus X) \oplus S_n = X \oplus S_n.$$

Luego,

n+1 &= dim(X \oplus S_n)\\ &=dim\big((P \oplus X) \oplus S_n \big)\\ &=dim(P \oplus X) + dim(S_n) - dim \big((X \oplus P) \cap S_n\big)\\ &=1 + n - dim \big((X \oplus P) \cap S_n\big)

En consecuencia, se tiene que

$$dim \big((X \oplus P) \cap S_n\big) = 0.$$

Por lo tanto $(X \oplus P) \cap S_n$ no es vacio, lo cual prueba la existencia de $Q$, y ya acabamos.