Equilátero inscrito en equilátero

Por la condición de perpendicularidad, en las esquinas de $ABC$ se deben formar triángulos 30-60-90 con los lados del inscrito --son obviamente semejantes. Pero también son congruentes, dado que el inscrito es equilátero. Por otro lado, estos triángulos tienen la particularidad de que el lado opuesto al ángulo de 30 miden el doble que la hipotenusa. Por tanto, si los lados de $ABC$ miden $3k$, entonces los vértices del inscrito deben ubicarse sobre $AB, BC, CA$ de tal manera que los dividan en razón 2 a 1.

Procedimiento: dividir los lados del equilátero $ABC$ en tres partes iguales y elegir los puntos $D, E, F$ sobre $AB, BC, CA$, respectivamente, de tal manera que $AD/DB=BE/EC=CF/FA=2$.