Dado un triángulo acutángulo ABC, se trazan las circunferencias c1 de diámetro AB y c2 de diámetro AC, y se ubican las intersecciones M y N de la altura CC’ con c1 y P y Q de la altura BB’ con c2 (las alturas vistas como rectas). Demostrar que los puntos M, N, P y Q pertenecen a una misma circunferencia.
(con la errata corregida)
Sea R el punto en que se cruzan las diagonales PQ y MN del cuadrilátero NPMQ. Si demostramos que R está sobre la cuerda común de las dos circunferencias, el resultado se sigue de inmediato –pues la potencia de R respecto a cada una de las circunferencias sería igual al producto de las distancias de R a los extremos de la cuerda.
Pero las diagonales del cuadrilátero son alturas. Luego, R es el ortocentro del triángulo ABC. Entonces la cuerda común debería ser altura (si es que R va a estar en la cuerda). ¿Y lo es? Ciertamente sí, pues los diámetros AB y AC forman triángulos rectángulos con la cuerda.
. Sean c1 y c2 dos circunferencias que se intersectan en dos puntos A y B. La tangente a c2 por A intersecta a c1 en C y la tangente a c1 por A intersecta a c2 en D. Un rayo que pasa por A, interior al ángulo CAD, intersecta a c1 en M, a c2 en N y al circuncírculo del triángulo ACD en P. Pruebe que AM=NP.
a) Demostrar que los triángulos NPD y MCP son semejantes.
b) Demostrar que los triángulos AMC y DPC son semejantes.
c) Demostrar que AM=NP.
b) Los ángulos en A y D de los triángulos AMC y DPC son claramente iguales – por ser ACPD cuadrilátero cíclico. Gracias a la tangente AD, es posible ligar al mismo arco los ángulos en C, primero a través del arco AM y después a través del arco PD (en el otro círculo), y ver que son iguales –el ánguloPAD subtiende el arco PD en un círculo y el arco AM en el otro. Por tanto, AMC y DPC son triángulos semejantes.
a) Para establecer que NPD y MCP son semejantes, observemos primero que <PMC es suplementario del <CMN. Entonces es la suma de los ángulos en A y en C del triángulo ACM.
Por otro lado, el <DNP es suplementario del <AND. Entonces es la suma de los ángulos en A y C del triángulo AND. Ahora bien, gracias a la tangente AC, es posible ver que el ángulo en A, del triángulo ACM, es igual que el ángulo en D del DAN (y ya sabíamos que el ángulo en C del primero es igual al ángulo en A del segundo –lo cual pudimos ver gracias a la tangente AD). Se concluye que los ángulos en N y M de los triángulos NPD y MCP son iguales. Y nos falta otro.
Los ángulos en P y D de los triángulos MCP y NPD son iguales por una razón no tan obvia. El arco que subtiende el P es AC, y este arco corresponde al ángulo ADC y no al PDN como quisiéramos. Pero si a éste lo giramos sobre D lo podemos hacer coincidir con el ADC –pues ya establecimos que <CAN = <CAP = <NDA = <CDP. En resumen, los triángulos MCP y NPD son semejantes.
c) De las semejanzas, MCP—NPD y AMC—DPC, se logran las razones:
MC/NP = CP/PD y AM/DP =MC/PC, o
MC/CP = NP/PD y AM/DP = MC/PC.
Por tanto, NP = AM como se quería.
Dos circunferencias k1, de centro O1 y k2 de centro O2 se cortan en M y N.
a) Demostrar que la línea de centros O1O2 es mediatriz de la cuerda común MN.
b) Demostrar que N está sobre el segmento que une los puntos X y Y, diametralmente opuestos a M, en k1 y k2 respectivamente.
c) Demostrar que la línea de centros es paralela a XY y mide la mitad de ésta.
a) Cada centro forma con la cuerda un triángulo isósceles. Es decir, cada uno de los centros es equidistante de los extremos de la cuerda. Luego, la línea de centros es mediatriz de la cuerda común.
b) El diámetro MX y el extremo N de la cuerda común forma triángulo rectángulo en N. Lo mismo es cierto del diámetro MY. Por tanto la cuerda y XN, y YN y la cuerda forman ángulos de 90. Se sigue que X, N y Y están sobre una misma recta.
c) La línea de centros es línea media del triángulo XYM (dado que MX y MY son diámetros y el centro corta por mitad al diámetro). Por tanto, la línea de centros es paralela a XY y mide la mitad de ésta.
En el contexto del problema 3, sean P en k1 y Q en k2 tales que MPX y MQY son isósceles rectángulos (P y N en lados opuestos del diámetro MX y Q y N en lados opuestos del diámetro MY). Sea T el punto en que el circuncírculo de PNQ corta por segunda vez a XY.
a) Demostrar que O1NTO2 es cuadrilátero cíclico
b) Demostrar que T es punto medio de XY
a) Primero hay que observar que NT y el punto medio de PQ (llamémosle M’) forman triángulo isósceles (M’ es el circuncentro de PNT). De aquí que la perpendicular bajada a NT desde M’ es mediatriz.
Después, considerando los tres centros (incluido el del circuncírculo de PNT, el cual es M’), hay que darse cuenta que las tres líneas de centros forman un isósceles rectángulo en M’.
De aquí que los dos centros O1 y O2, y N y T están sobre una misma circunferencia.
b) Ahora, dado que O1NTO2 es cuadrilátero cíclico, el ángulo O1O2T es igual que el O1NX (ambos son suplementarios del mismo ángulo). Pero XNO1 es isósceles. Por tanto, O1O2TX es paralelogramo. Y como O1O2 es línea media, se sigue que T es punto medio de XT. Como se quería.
