Sea $ABC$ un triángulo acutángulo e isósceles, con $AC=AB$. Sean $O$ su circuncentro e $I$ su incentro. Si $D$ es el punto de intersección de $AC$ con la perpendicular a $CI$ que pasa por $O$, demuestra que $ID$ y $AB$ son paralelas. (Tzaloa, 2010,1, p.36)
Sugerencia
Sugerencia:
Demuestra que los ángulos BAC e IDC son iguales.
Solución
Solución:
Sea M el punto medio de BC y T la intersección de OD y CI. Primero hay que ver que el incentro I y el circuncentro O están sobre AM por ser AB=AC.
La semejanza obvia --aunque no muy fácil de ver-- es la de los triángulos CMI y CTD (pues ambos son rectángulos con un ángulo de C/2 --dado que CI es bisectriz. Y como los lados correspondientes MT y TD se cortan en O, entonces --según un teorema conocido-- el ángulo TOI mide C/2.
Pero este ángulo es suplementario del IOD. De aquí que el cuadrilátero OICD es cíclico. Se concluye que los ángulos IDC e IOC son iguales.
De aquí el resultado. Pues el ángulo IOC es el central correspondiente al arco de A/2 y por tanto mide A. Y solamente hay que darse cuenta que éste y TDO son correspondientes en las rectas AB y DI cortadas por la transversal AC.
(Solución adaptada de una comunicación personal de Luis Brandon.)
