Sea ABC un triángulo rectángulo con ángulo recto en C, denotemos con R al punto donde la circunferencia inscrita es tangente al lado BC. Pruebese que $ AR \cdot RB $ es igual al área de ABC.
Solución
Solución:
Tenemos que demostrar que $AR \cdot RB$ es el área del triángulo rectángulo. Para ello haremos varias cosa. Primero unimos el centro del incírculo O con los vértices del triángulo A, B y C, y con los puntos de tangencia P,Q y R. Con esta construcción hemos divido al triángulo en 5 figuras:
Un cuadrado de lado r, OPCQ.
Dos triángulos congruentes: OBR y OBP.
Y otros dos triángulos congruentes: OAR y OAQ.
Calculando las área de estas figuras y sumádolas obtenemos que el área del triángulo ABC es $r^2+rAR + rBR $. Por otro lado, el área de ABC es:
Area &=\frac{AC \cdot BC}{2}\\ &=\frac{(AQ + r)(BP+r)}{2}\\ &=\frac{(AR+r)(BR+r)}{2}\\ &=\frac{ r^2+rAR + rBR +AR \cdot BR}{2}\\ &=\frac{r^2+rAR + rBR}{2} + \frac{AR \cdot BR}{2}\\ &=\frac{Area}{2}+\frac{AR\cdot BR}{2}
De la última igualdad se sigue inmediatamente que: \[ \'Area = AR\cdot AB. \]
