Considere un triángulo rectángulo con longitudes a, b y c, la hipotenusa es de longitud c, sea r la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. Demuestre que r es igual a la mitad de a+b-c.
Solución
Solución:
Para resolver este problema podermos empezar por trazar los tres radios del círculo hacia cada uno de los lados. Como se muestra en la siguiente figura. Para lo que sigue se va suponer que $a= BC$, $b=AC$ y $c=AB$.
Llamemos P, Q y R a los tres puntos de tangencia y O al centro del círculo. Como se puede observar $OPCQ$ es un cuadrado, por lo que $PC = CQ = r$.
Ahora bien, no es muy difícil de probar que $BP = BR$ y que $AR=RQ$ . Esto se logra usando una de las propiedades más básicas de las circunferencias: Si AP y AQ son dos tangentes a una circunferencia, es A un punto exterior, P y Q en la circunferencia, entonces AP = AQ .
Entonces, se sigue falcilmente que:
c&=AB\\ &= AR + RB\\ &= AQ + BP\\ &= (AC -CQ) + (BC -CP) \\ &= (AC -r)+(BC -r)\\ &= (b -r) + (a-r)\\ &= a+b -2r\\
En resumen, $c = a+b-2r$, de donde se sigue inmediatamente la expresión deseada:
$$ r = \frac{a+b-c}{2} $$
