Triángulo y circunferencia circunscrita

Bajo la hipótesis de que las cevianas pasan por el circuncentro $O$ del triángulo, la ecuación

  $$\frac{1}{AD} + \frac{1}{BE} + \frac{1}{CF}=\frac{2}{R}$$

se puede expresar como

  $$\frac{AO}{AD} + \frac{BO}{BE} + \frac{CO}{CF}=2$$

(dado que $R=AO=BO=CO$).

Para usar el método de áreas modifiquemos ligeramente la expresión del lado izquierdo (usando el hecho de que $AO=AD-OD$, etc.).  Tenemos entonces que:

$$\frac{AO}{AD} + \frac{BO}{BE} + \frac{CO}{CF}$$

$$= \frac{AD-OD}{AD} + \frac{BE-OE}{BE} + \frac{CF-OF}{CF}$$

$$=3-\frac{OD}{AD}-\frac{OE}{BE}-\frac{OF}{CF}$$

$$=3-\frac{(BCO)}{(ABC)}-\frac{(CAD)}{(ABC)}-\frac{(ABO)}{(ABC)}=3-1=2$$