Para resolver este problema vamos primero a establecer tres lemas.
Lema 1: Cualesquiera dos enteros consecutivos son coprimos (su máximo común divisor es 1).
Demostración del lema 1: Sea d un divisor común de m y m+1. Entonces d divide a la diferencia m+1−m=1. Es decir, d=1, como se quería.
Lema 2: Cualesquiera dos impares consecutivos son coprimos.
Demostración del lema 2: Sea d un divisor común de 2m−1 y 2m+1. Entonces divide a la diferencia 2m+1−(2m−1)=2. Es decir, d=1 o d=2. Pero no puede ser 2 pues es divisor de dos impares. Por lo tanto d=1. Como se quería.
Lema 3: El MCD(2m,2m+2)=2. (Cualesquiera dos pares consecutivos tienen a 2 como su máximo común divisor.)
Demostración del lema 3: Un divisor común de 2m y 2m+2 es 2. Y no hay otro mayor. Pues si d divide a 2m y a 2m+2, entonces d divide a la diferencia que es 2. Es decir, todo divisor común de 2m y 2m+2 divide a 2. Es decir, MCD(2m,2m+2)=2.
Solución del problema
El problema se modela con la ecuación y(n−x)=n+x. O, equivalentemente, como n(y−1)=x(y+1). De aquí que y−1 divida a x(y+1).
Caso 1: y=2k (y par)
En este caso se sigue que y−1 divide a x (lema fundamental). Es decir, x=y−1,2(y−1),3(y−1),... Por tanto, correspondientemente, n=y+1,2(y+1),3(y+1),...
En consecuencia, si y es par las soluciones son del tipo (x,n)=(i(y−1),i(y+1)) con i entero positivo.
Caso 2: y=2k+1 (y impar)
En este caso, la ecuación se transforma a nk=x(k+1). Se sigue que k divide a x (dado que es primo con k+1, y se aplica el lema fundamental de la teoría de números). Entonces, x=k,2k,3k,... Y, correspondientemente, n=k+1,2(k+1),3(k+1),...
En consecuencia, si y=2k+1 (en el problema original y=5 y, por tanto, k=2), las soluciones son del tipo(x,n)=(ik,i(k+1)), con i entero positivo.
A manera de ilustración, tomemos y=7. En este caso k=3. Podemos elegir cualquiera de las soluciones (x,n)=(3,4),(6,8),(9,12),...
Y ya tenemos un generador automático de problemas razonados. Por ejemplo: abuelo, abuelo, ¡perdí 9! Y el abuelo dice: si hubieses encontrado 9, tendrías 7 veces lo que ahora tienes. ¿Cuántos tenía?
El punto de vista del abuelo
Los cálculos del abuelo son muy simples y se reducen a una regla: primero calcula (n+x)/(n-x)=y; y si esta cantidad es un entero, lo que hace es contestar en el espejo (perder x-encontrar x): si hubieses encontrado x tendrías y veces lo que ahora tienes. Las construcciones del abuelo son un anzuelo lanzado a los niños (confiando en su capacidad de asombro). Si el niño se gancha, ahí está la puerta de entrada para desarrollar el gusto por las matemáticas. Y lo mejor es que tiene la tutoría del abuelo.
