¿Para qué valores de $ n $ (entero positivo), los números $n^2+1$ y $(n+1)^2+1$ no son primos relativos?
Aplica la propiedad que dice: si $d$ divide a los números $a,b$ entonces divide a $ax+by$. Busca los multiplicadores $x,y$ adecuados de tal manera que el problema se reduzca a uno donde el resultado sea evidente.
Primos relativos significa que no tienen divisor común (su MCD es 1). Entonces "no son primos relativos" se traduce a "tienen un divisor común $d$ distinto de 1". Sea pues $d$ un divisor común de $n^2+1$ y $(n+1)^2+1$. Entonces $d$ divide a su diferencia $2n+1.$ Pero también divide a su suma $(2n+1)^2+5.$ Entonces $d$ es divisor común de $2n+1$ y $(2n+1)^2+5$. Pero si divide a $2n+1$ también divide a su cuadrado. De aquí que $d$ divide a 5. Es decir, $d=5.$ Con esta información, se concluye que $2n+1$ es múltiplo de 5, es decir, $2n=-1$(mod 5). En otras palabras, $2n=4$(mod 5). De aquí que $ n $ es de la forma $5k+2$ para $k=0,1,2,\ldots.$ (El lector lo puede comprobar directamente haciendo la tabla de las clases residuales (módulo 5) de$ n, n^2 y (n+1)^2.$) Nota: El método de reducción (en la primera parte) es más claro si uno lo ve como la búsqueda de los multiplicadores adecuados $x,y$ --en la aplicación de la propiedad "si $d$ es divisor común de $a,b$ entonces es divisor de $ax+by$ ": $n^2+1$ lo multiplico por -1 $n^2+2n+2$ lo multiplico por 1 Suma $=2n+1$ De nuevo: $n^2+1$ lo multiplico por -4: $-4n^2-4$ $2n+1$ lo multiplico por $2n$: $4n^2+2n$ Suma $=2n-4=2n+1-5$ Y el resultado se hace obvio.
