El número se puede expresar como n=20109+1000x+10y, y lo queremos múltiplo de 101. Por tanto, lo que tenemos que hacer es obligar a los dígitos x,y a que hagan su contribución para lograrlo. Para ello utilizaremos la aritmética modular (la cual consiste, básicamente, en considerar solamente los residuos).
Puesto que 20109=101(109)+10 y 1000=101(9)+91, la ecuación de congruencias resultante de considerar solamente los residuos es 10+91x+10y=0(mod101) o, mejor, 10−10x+10y=0(mod101). De aquí que 10−10x+10y es múltiplo de 101. Es decir, 101 divide al producto 10(1−x+y). Pero 101 es coprimo con 10. Luego, 101 divide a 1−x+y. (En términos de congruencias, esto se expresa como 1−x+y=0(mod101))
Hemos llegado a reducir la ecuación de congruencias inicial a una muy simple. ¿Y ahora? Bueno ahora hay que seguir pensando y recordar que x,y son dígitos. ¿Y qué con eso? Bueno, no es difícil darse cuenta que la expresión 1−x+y no puede tener valores muy grandes...
Y la única posibilidad de que 1−x+y sea múltiplo de 101 es que sea cero. De aquí quex−y=1. Es decir, las posibles parejas (x,y) de dígitos que cumplen el requerimiento del enunciado son (1,0), (2,1),...(9,8).
El lector no encontrará ninguna dificultad para comprobar que los números correspondientes a esas parejas son múltiplos de 101. Por ejemplo, la pareja (8,7) da lugar al número 28179.
