sobre consecutivos y cuadrados perfectos

Demostrar que el producto de 4 enteros consecutivos, sumándole 1, siempre es un cuadrado perfecto.

 

El producto de 4 consecutivos es n (n+1) (n+2) (n+3) + 1. Ahora lo que tenemos que hacer es factorizar (si se puede). Pero lo más fácil es tomar ventaja de que ya sabemos (¡aunque es lo que vamos a demostrar!) que el producto es cuadrado perfecto. Observe el lector cómo se puede sacar ventaja de asumir lo que se tiene que demostrar (nótese, sin embargo, que es un uso heurístico):

$n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = m^2$, o

$k = n(n+1)(n+2)(n+3) = m^2 – 1 = (m-1)(m+1)$

Ésta es la información que ayuda. Pues ahora lo que tenemos que hacer es poner el producto de los 4 consecutivos como producto de dos números que tienen una diferencia de 2 unidades. Eso se hace por tanteos:

   1.
      primer tanteo: $k = (n^2 + n)(n^2 + 5n + 6)$
   2.
      segundo tanteo: $k = (n^2 + 3n + 2)(n^2 + 3n)$

Y ya está, porque ahora $m – 1 = n^2 + 3n + 1 – 1$ y $m + 1 = n^2 + 3n + 1 + 1$. Así que $m^2 – 1 = k$, así que

$m^2 = (n^2 + 3n + 1)^2 = k + 1.$

Ejercicio: intente el lector el procedimiento con

$k = (n – 2)(n – 1)n(n + 1).$