De acuerdo a la condición, la ecuación se puede plantear como 20m2+9(m+1)2=2009. Resolviendo la cuadrática que resulta se obtiene m=8 (la otra raíz no es entera). Comprobémoslo: 20(64)+9(81)=1280+729=2009. La respuesta es entonces: solamente hay una solución y es (x,y)=(64,81). (Aunque, a decir verdad, esta solución no obtendría los 7 puntos en un concurso; pues faltaría resolver la ecuación con los consecutivos al revés (9 con m^2 y 20 con el siguiente) y comprobar que no hay soluciones enteras.)
Solución alternativa
Puesto que 20 y 9 son coprimos, entonces deben existir x,y tales que 20x+9y=1 --según el lema de Bezout. Vamos primero a encontrar los coeficientes de Bezout, después los vamos a multiplicar por 2009 y finalmente ajustamos la solución tomando en cuenta el hecho de que 20x+9y=20(x−9k)+9(y+20k). (Notemos, de paso y como curiosidad útil, que los coeficientes de Bezout no son únicos --sino que son infinitos...)
Los coeficientes de Bezout (en este caso, -4 y 9) se obtienen aplicando el algoritmo de la caja mágica (o por prueba y error): 20⋅−4+9⋅9=1. Ahora multiplicamos toda la ecuación por 2009 y obtenemos una solución a la ecuación diofantina dada:
20⋅−8036+9⋅18081=2009
Pero esa solución ni siquiera es positiva. Lo que tenemos que hacer es poner en práctica el truco siguiente --que los veteranos deberían saber-- para ajustar la solución:
20⋅(−8036+9k)+9⋅(18081−20k)=2009
Como queremos una solución positiva, vamos a acotar
k, de acuerdo a ese requerimiento. Haciendo los cálculos se logra ver que
893≤k≤904. En este punto podemos decidir si probamos con los valores de
k (12 valores) hasta encontrar los cuadrados perfectos consecutivos (una tarea un poco tediosa sin calculadora a la mano), o bien buscar algún método más eficiente. Si recordamos que hemos multiplicado los coeficientes de Bezout por 2009, la solución se puede escribir como:
m2=9k−4⋅2009,(m+1)2=−20k+9⋅2009
Esta forma sugiere multiplicar por 9 la primera y por 4 la segunda y sumar. Se obtiene:
9m2+4(m+1)2=k. Pero
k está acotada y se puede sospechar que hay muy pocos valores de
m que mantienen
k en el intervalo obtenido antes. Después de hacer algunos intentos se llega rápidamente a que
m=8 es el único valor que mantiene la
k en
(893,904). La respuesta es entonces: solamente hay una solución y es
(x,y)=(64,81)
