Diofantina condicionada

De acuerdo a la condición, la ecuación se puede plantear como $20m^2+9(m+1)^2=2009$. Resolviendo la cuadrática que resulta se obtiene $m=8$ (la otra raíz no es entera). Comprobémoslo: $20(64)+9(81)=1280+729=2009.$ La respuesta es entonces: solamente hay una solución y es $(x,y)=(64,81).$  (Aunque, a decir verdad, esta solución no obtendría los 7 puntos en un concurso; pues faltaría resolver la ecuación con los consecutivos al revés (9 con m^2 y 20 con el siguiente) y comprobar que no hay soluciones enteras.)

Solución alternativa

Puesto que 20 y 9 son coprimos, entonces deben existir $x, y$ tales que $20x+9y=1$ --según el lema de Bezout. Vamos primero a encontrar los coeficientes de Bezout, después los vamos a multiplicar por 2009 y finalmente ajustamos la solución tomando en cuenta el hecho de que $20x+9y=20(x-9k)+9(y+20k).$ (Notemos, de paso y como curiosidad útil, que los coeficientes de Bezout no son únicos --sino que son infinitos...)

Los coeficientes de Bezout (en este caso, -4 y 9) se obtienen aplicando el algoritmo de la caja mágica (o por prueba y error): $20\cdot{-4}+9\cdot{9}=1.$ Ahora multiplicamos toda la ecuación por 2009 y obtenemos una solución a la ecuación diofantina dada:

$$20\cdot{-8036}+9\cdot{18081}=2009$$

Pero esa solución ni siquiera es positiva. Lo que tenemos que hacer es poner en práctica el truco siguiente --que los veteranos deberían saber-- para ajustar la solución:

$$20\cdot{(-8036+9k)}+9\cdot{(18081-20k)}=2009$$

Como queremos una solución positiva, vamos a acotar $k$, de acuerdo a ese requerimiento. Haciendo los cálculos se logra ver que $893\leq k\leq{904}$. En este punto podemos decidir si probamos con los valores de $k$ (12 valores) hasta encontrar los cuadrados perfectos consecutivos (una tarea un poco tediosa sin calculadora a la mano), o bien buscar algún método más eficiente. Si recordamos que hemos multiplicado los coeficientes de Bezout por 2009, la solución se puede escribir como:

$$m^2=9k-4\cdot{2009}, (m+1)^2=-20k+9\cdot{2009}$$

Esta forma sugiere multiplicar por 9 la primera y por 4 la segunda y sumar. Se obtiene: $9m^2+4(m+1)^2=k$. Pero $k$ está acotada y se puede sospechar que hay muy pocos valores de $m$ que mantienen $k$ en el intervalo obtenido antes. Después de hacer algunos intentos se llega rápidamente a que $m=8$ es el único valor que mantiene la $k$ en $(893,904)$. La respuesta es entonces: solamente hay una solución y es $(x,y)=(64,81)$