Determine todas las parejas (x,y) de enteros positivos, tales que x+y=an y x2+y2=am para algunos enteros positivos a,m,n.
Primero observemos que al elevar al cuadrado la primera ecuación se obtiene 2xy=a2n−am –sustituyendo en la expresión resultante el lado derecho de la segunda. Y como queremos x, y enteros positivos, se sigue que 2n>m. Y no parece que se pueda obtener mayor información de aquí. Exploremos entonces otra sustitución: despejamosy de la primera ecuación y sustituyamos en la segunda para obtener una ecuación cuadrática. am=(an−x)2+x2=a2n−2anx+x2+x2 Se llega a la cuadrática 2x2−2an+a2n−am=0. Y como x debe ser un entero positivo, el discriminante debe ser un cuadrado perfecto: z2=2am−a2n Pero como 2n>m, entonces existe un entero k positivo tal quem+k=2n. Esto nos permite poner el discriminante como z2=2am−am+k=am(2−ak) Y como un cuadrado perfecto es no negativo (una trivialidad que necesita práctica para verla en el contexto de un problema), entonces a=2 y k=1. Y con esto, el discriminante es cuadrado perfecto para cualquier m. (Pregunta clásica de novicio: ¿el 0 es cuadrado perfecto?) En resumen, a=2,m=2n−1, con n irrestricta, el discriminante es cero y la solución de la cuadrática es x=2n−1. Por tanto, y=2n−2n−1. Es decir, la respuesta es: todas las parejas de la forma (2n−1,2n−2n−1) con n entero positivo.