Un teorema sobre primos

Experimentando un poco con primos pequeños llega uno a que p = 3 cumple. Y no cumplen ni el 5 ni el 7 (ni el 2). Comentario metódico: Lo que tiene que hacer un buen solucionador de problemas de concurso es suponer (mejor dicho “maliciar”) que p = 3 es el único caso que cumple (9 + 2 = 11 es primo y entonces 27 + 2 = 31 es primo). Para desechar los casos restantes es para lo que se usa aquí la aritmética modular: Todos los primos dejan residuo 1 o 2 al ser divididos entre 3 (aunque esta afirmación tiene su excepción –permítaseme dejarla en suspenso, para que pueda ocurrir el efecto sorpresa). Entonces, $p^2 + 2 = 1 + 2 = 0 \pmod{3}$. Ooops. ¡No hay primos de la forma $p^2 + 2$. A menos, claro está, que $p =3$. Y ese caso ya lo verificamos. Por tanto, para todo primo p, si $p^2 +2$ es primo entonces $p^3 +2$ es primo.