Hagamos primero un análisis de los datos en búsqueda de pistas para la demostración. La primera cosa que se debe hacer es ver los factores de 24. Es claro que $24 = 8(3) = 2^3(3)$. La siguiente cosa que se ve es que tenemos dos diferencias de cuadrados: ($c-b)(c+b)=(b-a)(b+a)=d$. Como los dos productos son iguales a $ d $ se trata de dos factorizaciones distintas de $ d $. Y queremos demostrar que $ d $ es múltiplo de 24. Es decir, que $d = k(2^3)(3)$, para algún entero $ k $.
¿Qué más se puede inferir de los datos? Sumando las diferencias de cuadrados, se puede ver que $c^2 - a^2 =2d$, es decir, $c^2 - a^2 =2d$ es un número par. Esto significa que $ a $ y $ c $ son de la misma paridad, es decir, ambos son pares o ambos impares. Pero entonces, en el producto $(a-c)(a+c)$, ambos factores son pares. Digamos, a $ - c = 2m$ y $a +c = 2n$. En resumen, $a^2 - c^2$ es múltiplo de 4:
$a^2 - c^2 = 4mn$.
Y podemos decir todavía un poco más:
$2a = 2m +2n$, y $2c = 2n - 2m$.
Es decir, $a = m + n$ y $c = n - m$. Por lo tanto, $a^2 = (n - m)^2$ y $c^2 = (n + m)^2$. En otras palabras:$ a^2 = m^2 + n^2 - 2mn$ y $c^2 = m^2 + n^2 + 2mn$
Por otro lado, restando las diferencias de cuadrados se obtiene $2b^2 = a^2 + c^2$. Y sustituyendo se obtiene: $2b^2 = 2m^2 + 2n^2$, o $b^2 = m^2 + n^2$.
Parecería que es todo lo que podemos inferir de los datos, pero hay otra cosa: como la diferencia $d = 2mn$ y $a, b, c$ son coprimos, entonces $a, b$ no pueden ser ambos pares, como tampoco lo pueden ser $b, c$. Se concluye que los tres números $a, b, c$ son todos impares.
Si ya sabemos que son impares, posiblemente el análisis puede mejorar. Porque ahora sabemos que $a = n - m$ es impar, lo mismo que $n + m$, y ello significa que $m, n$ son de distinta paridad: uno es par y el otro impar.
Por jugar $m, n$ papeles simétricos, podemos suponer par cualquiera de ellos. $Si m = 2k$, entonces $ d = 2mn = 4kn$ y se ve que $ d $ es múltiplo de 4. (¡Pero queremos múltiplo de 8!)
Analicemos ahora la ecuación $b^2 = m^2 + n^2$ suponiendo que $m = 2k$, y despejemos $ m $:
$4k^2 =b^2 - n^2 = (b - n)(b + n)$.
Como ya sabemos que $b, n$ son impares, podemos poner la ecuación como $k^2 = [(b - n)/2][(b + n)/2]$
Y tenemos un cuadrado producto de dos factores y éstos son coprimos. Entonces cada uno de los factores es cuadrado perfecto. Digamos $r^2 = (b - n)/2$ y $s^2 = (b + n)/2$. O sea:
$2r^2 = b - n,\hspace{.5 cm} 2s^2 = b + n$
Sumando se obtiene $b = r^2 + s^2$. Y restando, $n = s^2 - r^2$. Y también $k = m/2 = rs$. Ahora bien, como $b, n$ son coprimos también lo son $r, s$ (por la forma en que se expresan $ b $ y $ n $ en términos de $ r $ y $ s $). Y también se ve que uno de ellos ($ r $ o $ s $) es par y el otro impar (puesto que $b, n$ son ambos impares y, así, no pueden ser la suma o resta de dos impares). Y se ve ya que $m = 2rs$ es múltiplo de 4. Hemos logrado entonces establecer que $d = 2mn$ es múltiplo de 8. Faltaría ver que también es múltiplo de 3. Para ello analicemos una vez más la ecuación $d = 4rsn = 4rs(s^2 - r^2).$ Si $ r $ o $ s $ es múltiplo de 3 ya está. De otra manera, si ninguno es múltiplo de 3 entonces la diferencia de cuadrados debe ser múltiplo de 3 (demuéstrelo el lector con un análisis de los residuos de $ r $ y $ s $ al ser divididos entre 3) y de nuevo ya está. En resumen, $d = 2mn$ es múltiplo de 24.
Demostración alternativa (de la progresión aritmética…)
La forma más fácil de demostrar que la diferencia $d = c^2 - b^2 = b^2 - a^2$ es múltiplo de 24 es por contradicción. Recordemos, antes de continuar, que $c^2 - a^2 = 2d$ y, en consecuencia, $a, c$ son de la misma paridad. Y como no pueden ser pares (por ser coprimos) entonces son ambos impares. Tampoco $ b $ puede ser par, pues si $ b $ fuese par entonces $c^2 + a^2 = 2b^2$ sería múltiplo de 4, es decir, $a, c$ serían ambos pares. Primero haremos el análisis módulo 8. Los residuos posibles de un número al ser dividido entre 8 son $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$. Entonces, los de su cuadrado son 0, 1, 4. Pero como $a, b, c$ son impares sólo existe la posibilidad de tener residuo 1. Entonces, los residuos (módulo 8) de los tres cuadrados en progresión aritmética serían 1, 1, 1. Es decir, $a^2 \equiv 1 \pmod{8}$, $b^2 \equiv 1\pmod{8}$, $c^2 \equiv 1\pmod{8}$. Pero como están en progresión aritmética, esto sólo es posible si la diferencia $ d $ es un múltiplo de 8, es decir, si $d \equiv 0 \pmod{8}.$ Es decir, $ d $ es múltiplo de 8.
Para el módulo 3, los residuos posibles son 0, 1, 2. Y, en consecuencia, para un cuadrado son 0 y 1. Pero como $a, b, c$ no tienen factores en común sólo uno de ellos podría ser múltiplo de 3. Así, los posibles residuos para las diferencias $c^2 - b^2 y b^2 - a^2$ son:
