Una progresion aritmetica de cuadrados

Hagamos primero un análisis de los datos en búsqueda de pistas para la demostración. La primera cosa que se debe hacer es ver los factores de 24. Es claro que $24 = 8(3) = 2^3(3)$. La siguiente cosa que se ve es que tenemos dos diferencias de cuadrados: ($c-b)(c+b)=(b-a)(b+a)=d$. Como los dos productos son iguales a $d$ se trata de dos factorizaciones distintas de $d$. Y queremos demostrar que $d$ es múltiplo de 24. Es decir, que $d = k(2^3)(3)$, para algún entero $k$.

¿Qué más se puede inferir de los datos? Sumando las diferencias de cuadrados, se puede ver que $c^2 - a^2 =2d$, es decir, $c^2 - a^2 =2d$ es un número par. Esto significa que $a$ y $c$ son de la misma paridad, es decir, ambos son pares o ambos impares. Pero entonces, en el producto $(a-c)(a+c)$, ambos factores son pares. Digamos, a $- c = 2m$ y $a +c = 2n$. En resumen, $a^2 - c^2$ es múltiplo de 4:
$a^2 - c^2 = 4mn$.

Y podemos decir todavía un poco más:

$2a = 2m +2n$, y $2c = 2n - 2m$.

Es decir, $a = m + n$ y $c = n - m$. Por lo tanto, $a^2 = (n - m)^2$ y $c^2 = (n + m)^2$. En otras palabras:$a^2 = m^2 + n^2 - 2mn$ y $c^2 = m^2 + n^2 + 2mn$

Por otro lado, restando las diferencias de cuadrados se obtiene $2b^2 = a^2 + c^2$. Y sustituyendo se obtiene: $2b^2 = 2m^2 + 2n^2$, o $b^2 = m^2 + n^2$.

Parecería que es todo lo que podemos inferir de los datos, pero hay otra cosa: como la diferencia $d = 2mn$ y $a, b, c$ son coprimos, entonces $a, b$ no pueden ser ambos pares, como tampoco lo pueden ser $b, c$. Se concluye que los tres números $a, b, c$ son todos impares.

Si ya sabemos que son impares, posiblemente el análisis puede mejorar. Porque ahora sabemos que $a = n - m$ es impar, lo mismo que $n + m$, y ello significa que $m, n$ son de distinta paridad: uno es par y el otro impar.

Por jugar $m, n$ papeles simétricos, podemos suponer par cualquiera de ellos. $Si m = 2k$, entonces $d = 2mn = 4kn$ y se ve que $d$ es múltiplo de 4. (¡Pero queremos múltiplo de 8!)

Analicemos ahora la ecuación $b^2 = m^2 + n^2$ suponiendo que $m = 2k$, y despejemos $m$:
$4k^2 =b^2 - n^2 = (b - n)(b + n)$.

Como ya sabemos que $b, n$ son impares, podemos poner la ecuación como $k^2 = [(b - n)/2][(b + n)/2]$

Y tenemos un cuadrado producto de dos factores y éstos son coprimos. Entonces cada uno de los factores es cuadrado perfecto. Digamos $r^2 = (b - n)/2$ y $s^2 = (b + n)/2$. O sea:

$2r^2 = b - n,\hspace{.5 cm} 2s^2 = b + n$

Sumando se obtiene $b = r^2 + s^2$. Y restando, $n = s^2 - r^2$. Y también $k = m/2 = rs$. Ahora bien, como $b, n$ son coprimos también lo son $r, s$ (por la forma en que se expresan $b$ y $n$ en términos de $r$ y $s$). Y también se ve que uno de ellos ($r$ o $s$) es par y el otro impar (puesto que $b, n$ son ambos impares y, así, no pueden ser la suma o resta de dos impares). Y se ve ya que $m = 2rs$ es múltiplo de 4. Hemos logrado entonces establecer que $d = 2mn$ es múltiplo de 8. Faltaría ver que también es múltiplo de 3. Para ello analicemos una vez más la ecuación $d = 4rsn = 4rs(s^2 - r^2).$ Si $r$ o $s$ es múltiplo de 3 ya está. De otra manera, si ninguno es múltiplo de 3 entonces la diferencia de cuadrados debe ser múltiplo de 3 (demuéstrelo el lector con un análisis de los residuos de $r$ y $s$ al ser divididos entre 3) y de nuevo ya está. En resumen, $d = 2mn$ es múltiplo de 24.
 

 

La forma más fácil de demostrar que la diferencia $d = c^2 - b^2 = b^2 - a^2$ es múltiplo de 24 es por contradicción. Recordemos, antes de continuar, que $c^2 - a^2 = 2d$ y, en consecuencia, $a, c$ son de la misma paridad. Y como no pueden ser pares (por ser coprimos) entonces son ambos impares. Tampoco $b$ puede ser par, pues si $b$ fuese par entonces $c^2 + a^2 = 2b^2$ sería múltiplo de 4, es decir, $a, c$ serían ambos pares. Primero haremos el análisis módulo 8. Los residuos posibles de un número al ser dividido entre 8 son $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$. Entonces, los de su cuadrado son 0, 1, 4. Pero como $a, b, c$ son impares sólo existe la posibilidad de tener residuo 1. Entonces, los residuos (módulo 8) de los tres cuadrados en progresión aritmética serían 1, 1, 1. Es decir, $a^2 \equiv 1 \pmod{8}$, $b^2 \equiv 1\pmod{8}$, $c^2 \equiv 1\pmod{8}$. Pero como están en progresión aritmética, esto sólo es posible si la diferencia $d$ es un múltiplo de 8, es decir, si $d \equiv 0 \pmod{8}.$ Es decir, $d$ es múltiplo de 8.

Para el módulo 3, los residuos posibles son 0, 1, 2. Y, en consecuencia, para un cuadrado son 0 y 1. Pero como $a, b, c$ no tienen factores en común sólo uno de ellos podría ser múltiplo de 3. Así, los posibles residuos para las diferencias $c^2 - b^2 y b^2 - a^2$ son: