Publicaciones Recientes

Los conjuntos $A, \ B, \ C$ y $D$ cumplen las siguientes condiciones:

• Sus elementos son números enteros del 1 al 20.
• Cada conjunto tiene 4 elementos y no hay un mismo número en dos o más conjuntos distintos.
• Sean $P_a, \ P_b, \ P_c, \ P_d$ los productos de los números en los conjuntos $A, B, C, D$ respectivamente, y $Q_a, Q_b, Q_c, Q_d$ el producto de los factores primos distintos de $P_a, P_b, P_c, P_d$ respectivamente. 

Se cumple que:

$$P_a \cdot P_b = P_c \cdot P_d$$  

$$mcd(Q_a,Q_b)\cdot mcd(Q_c,Q_d) \leq 3$$

¿De cuántas maneras se pueden elegir los conjuntos?

Luna y sus amigas estan jugando con agua. Tienen $n$ garrafones vacíos de capacidad infinita y $m$ botellas llenas de agua, con $m>n$. Las botellas están ordenadas y numeradas $1, 2, \dots, m$, de la más pequeña a la más grande. La botella $i$ tarda exactamente $i$ segundos en vaciarse, para $1 \leq i \leq m$. Sus amigas van a vaciar el agua de las botellas en los garrafones siguiendo estas reglas:

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle CAB =90 ^ {\circ}$ e incentro $I$. Las bisectrices de $\angle C$ y $\angle B$ intersecan a $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente, e intersecan a la perpendicular de $BC$ por $A$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $D$ y $N$ los puntos medios de $PE$ y $QF$ respectivamente. 

1. Demuestra que los puntos $D, \ A, \ N, \ I$ están sobre una circunferencia.
2. Demuestra que $DN$ es paralela a $BC$

¿De cuántas formas puedo ordenar las letras de "$tralalerotralala$" de tal forma que las letras de "$tra$" respeten su orden? Ejemplo, $tratralalerolala$ es válido, pero $tralalerotarlala$ no lo es.