Hace ya casi dos meses se llevó a cabo el examen estatal de la OMT 2017. Inclusive ya hubo otros eventos como lo la OMMEB en su primera edición. La IMO en su edición número 58. Además de que los preseleccionados ya recibieron su primer entrenamiento y ya están trabajando en la actividad de verano (o eso esperamos).
Quizá después se pueda escribir un poco más y/o subir los problemas correspondientes a estos eventos. Quizá dos meses después también. Pero para que no queden ''olvidados'' los problemas del estatal 2017 quiero pláticar sobre ellos.
Problema 1. Carlos tiene seis manzanas y seis peras. ¿De cuántas maneras puede poner 6 frutas en una fila, de manera que entre dos manzanas no haya ninguna pera?
El problema es realmente sencillo. Jesús Anaya dice '' Sale con diagrama de árbol y se hace en minutos". No estuve en la revisión de examenes (sólo en la elaboración) pero me imagino que a todos los preseleccionados les salió y les salió de inmediato.
Problema 2. En un tablero de $75\times 75$ cada fila y columna se enumera de manera habitual con números del 1 al 75. Cada casilla es identificada con dos coordenadas, una correspondiente a la fila y otra a la columna. Claudia quiere poner una ficha en todas las casillas que tienen una coordenada par y la otra múltiplo de 3 (y sólo en esas). ¿Cuántas fichas quedarán en el tablero?
Mucho más interesante que el primero. Notemos que la solución publicada en la entrada "Examen Estatal" de Orlando es díficil (yo no la entiendo). En la elaboración del examen pude encontrar la siguiente, de manera rápida y natural. (Por lo que le dimos visto bueno al problema).
Solución. Contemos primero cuántas fichas hay en el tablero de 72x72. Si se divide en 144 cuadrados de 6x6 podemos notar que en cada cuadrado hay la misma cantidad de fichas y contandolo a mano para un cudrado tenemos que tiene 11 fichas. En total hay 144x11=1584. Ahora nos faltan las últimas tres filas y columnas las que tienen los números 73,74 y 75. En las fila y columna número 73 no hay nada que hacer. En la fila de 74 hay que ver cuantas hay, bastá ver cuantas columnas múltiplo de 3 hay (son 25) igual para la columna número 74 hay 25 fichas. Para la fila con el número 75 hay ver cuántas columnas pares hay (son 37) entonces en esta fila hay 37 fichas de igual manera en la columna número 75 hay 37 fichas. Sólo hay que ver cuales contamos doble en el cuadrito de 2x2 de la esquina y vemos que contamos dos fichas de más. En total 1584+25+25+37+37-2=1706.
Un buen problema que tiene este aspecto de ''incomodidad'', no puedes contar todo en una misma múltiplicación y la división de casos no son ánalogos. Quería dejar el tablero como 72x72 para que sólo estuviera esta parte de la división en cuadrados de 6x6. Aquí sí se puede empaquetar todo el conteo en una múltiplicación. Pero no quedaba muy interesante. Orlando lo dejó asi para que ''tengan que considerar las partes enteras de las divisiones''.
De cualquier manera, fue mi favorito del concurso. Tiene este aspecto de problema clásico ''¿Cúantos múltiplos de 3 no los son de 2 menores o iguales a 75?''. Hay estar respondiendo este tipo de preguntas a cada rato cuándo se esta construyendo una solución.
Hasta aquí, tenemos que los dos problemas fáciles del concurso son de combinatoria. Lo cual no veía con buenos ojos, me preocupaba. Y es que en ediciones anteriores el corte de preselección andaba en 10 (o menos). Esperando algo similar tendriamos que los chicos sólo responderian las preguntas de combinatoria. Y no podriamos saber nada de su nivel en las otras áreas. Lo dejamos así por que combinatoría es lo que menos se ve en clase. Afortunadamente, el corte subió y mucho. A los 19 puntos. De manera normal podriamos decir que un preseleccionado promedio pudo resolver los dos de combinatoria y bastante del de geometría (si es que no le encontro modo al de números). Eso es alentador.
Problema 3. En la figura las rectas $l$ y $m$ son paralelas. Si además se sabe que el ángulo $\angle DEB = 130$, $AC=BC$ y los segmentos $DE$ y $AC$ son perpendiculares, ¿Cuánto mide el ángulo $\angle FDE?.
Obligatorio es un trazo auxiliar. Es un problema rico pues tiene muchos datos. Encontramos por lo menos 4 soluciones distintas. Dependiendo de como se aplican los datos y el trazo auxiliar. Es menos díficil que el problema 2, pero más técnico. En otras palabras, es un problema más maduro. Por eso se quedó como 3.
Problema 4. Un número es emparejado es aquel que solamente utiliza dos dígitos distintos, por ejemplo 1188188 o 595. Encuentra el número emparejado más pequeño que sea múltiplo de 28, que la suma de sus cifras sea la multiplicación e sus cifras y que dicha multiplicación sea el cuadrado de un cuadrado.
Díficil. Solamente Daniel Ochoa lo resolvió. Jesús Anaya estuvo en la revisión de este problema. ''Solo se dieron puntos por ver que un dígito era el 1 y no podia ser el cero, raros los casos donde se dieron más''.
Tuve la suerte de crear este problema por lo que tengo muchos comentarios sobre él. Que quedaran para después (pienso abrir una sesion de comentarios para él, a ver si alguien se ánima a comentar).
El corte en 19 me ánima mucho. Y más de la mitad estuvo por encima de los tres problemas resueltos. Por mientras, en la actividad de verano se verá si siguen manteniendo su nivel.
Cordialmente,
germán.