La complejidad de un problema geométrico: a propósito del 8(G) del concurso estatal

Enseguida voy a desarrollar la solución de Brandon al problema 8(G) del concurso estatal. Es un desarrollo en "cámara lenta" y tiene la intención didáctica de mostrar a los novicios la complejidad que puede llegar a tener un problema de geometría de olimpiada de matemáticas. Pero no para asustarlos y alejarlos de los concursos, sino para que tengan una visión realista de los conocimientos necesarios en la resolución de un problema en el concurso nacional. Y si después de adquirir esa visión deciden retirarse pues es muy su decisión.

Enunciado del problema

En un triángulo $ ABC $, el ángulo $ A $  mide el doble que el $ C $. Se traza la mediana $BD$ al lado $CA$ ($D$ es punto medio de $ CA $). Si el ángulo $ DBC $ es igual al ángulo en $ A $, calcular las medidas de los ángulos del triángulo $ ABC $.

La figura

Lo primero que hay que hacer al resolver un problema de geometría es la figura. Una figura proporciona un objeto concreto sobre el cual se puede razonar de manera más fácil. En este caso, sin embargo, la figura es muy difícil de elaborar con regla y compás --dado que lso datos son medidas de ángulos y éstas están indeterminadas.

Y aun así conviene elaborar al menos un bosquejo. Una vez teniendo la figura hay que explorarla y sacarle más información de la que viene en el enunciado. Una de las primeras inferencias es que los triángulos ABC y BDC son semejantes, pero esa ruta no se va a seguir aquí.

Primer subproblema: En contrar la medida del ángulo pedido en la figura.

Este problema es elemental pero hay que resolverlo. El conocimiento obligado es el teorema del ángulo externo. En este momento estamos todavía muy lejos de la solución. Y no se ve cómo continuar.

En estos casos conviene realizar un trazo auxiliar a manera de un trampolín para pasar al otro lado (hacia la solución). Los trazos auxiliares permiten extraer más información al enunciado y a la figura de la que se puede con lo que se tiene a la vista. (Dice Brandon que el segmento BD le gritó: ¡prolóngame! Es una forma de decir, que algo en la figura sugiere el trazo auxiliar.)

Segundo subproblema: Realizar la reflexión central que se pide en la figura.

La reflexión o simetría central es una de las transformaciones geométricas que el aspirante a campeón olímpico debería saber. El resultado, en este caso es un paralelogramo. Pero parecería que en este caso este paralelogramo no sirve de mucho.

Para seguir buscando información útil sin abandonar el paralelogramo como estrategia de solución, Brandon trazó la mediatriz. Este es el

Tercer subproblema

La configuración geométrica se enriquece inesperadamente con la mediatriz de AC. Recordemos que la mediatriz es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los extremos. Forma operativa de uso: identificación de triángulos isósceles.

Cuarto subproblema: Encuentra los ángulos pedidos.

Una vez teniendo identificadas las medidas de más ángulos, la búsqueda de cuadriláteros cíclicos puede llegar a ser muy productiva, gracias a sus múltiples propiedades. El tema de cíclicos debería abordarse inmediatamente después de la geometría básica del círculo. Pues no es especialmente complejo y tiene múltiples usos en solución de problemas geométricos.

Para ello hay que buscar los ángulos adecuados (aquí hay que recordar la noción de ángulo inscrito). Hay varios criterios para identificar cíclicos. En este caso se usal de los ángulos formados por las diagonales y dos lados opuestos (si son iguales entonces es cíclico). Digamos de paso que uno puede saber los criterios y aún así no ver un cíclico en una configuración. Esta brecha entre la teoría y la práctica se remedia haciendo muchos problemas.



Una vez identificado el cíclico, sus propiedades (de la geometría del círculo) ayudan a identificar más ángulos (su medida). Una vez identidicado el cíclico, el cognizador imagina el círculo que lo circunscribe y ve los ángulos en ese contexto.



En este punto ya sólo faltaba uno de los ángulos del triángulo BDF para usar suma de ángulos internos y llegar a la solución. Por eso Brandon buscó otro cíclico.



Ese cíclico es fácil de identificar: es el ABDF. (Notemos que los dos cíclicos se han identificado no con el criterio usual de ángulos opuestos suplementarios sino con el de los ángulos formados por las diagonales y dos lados opuestos.)



La identificación del cíclico ABDF se logró observando la igualdad de los ángulos FBD y DAF. Y una vez que se sabe que es cíclico, se observan los otros dos ángulos formados por las diagonales y los otros dos lados opuestos DF y BA: BFD tiene que ser igual al BAD, es decir, debe medir 2x.  Y esa era la información faltante. Lo demás es pan comido.

Los saluda
jmd