Concurso ciudades XXVI OMM Tamaulipas 2012

A continuación se presentan los problemas del concurso ciudades con que inició --el viernes 21 de septiembre-- el proceso de selección Tamaulipas 2012 para la XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas --cuyo concurso nacional se realizará en noviembre en Guanajuato. Se añaden algunos comentarios de parte del que esto escribe --a partir de los enunciados y de las soluciones presentadas por los concursantes...

Los problemas

1G. En el segmento AB se elige un punto E. En los extremos de AB se levantan dos segmentos AD y BC, perpendiculares a AB, de tal manera que AD=AE y BC=BE. Demostrar que el triángulo CDE es rectángulo en E.

2A. Encuentra la suma de todos los números impares menores que 2012.

3A. Si se sabe que la suma de dos números es 1 y que la suma de sus cuadrados es 2 ¿cuál es la suma de sus cubos?

4N. Un número de tres dígitos deja residuo 1 cuando se divide entre 2, 3, 4, 5 y 7. Encontrar todos los números posibles con esa propiedad.

5A. Al cuadrado de un entero se le llama cuadrado perfecto. Si  $x$ es un cuadrado perfecto ¿cuál es el siguiente cuadrado perfecto expresado en términos de $x$?

6C. Sean $a_1,a_2\ldots,a_n$  enteros positivos y considere los números $b_1=a_1,b_2=a_1+a_2,\ldots,b_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$. Demostrar que si ninguno de los $b_i$ es múltiplo de $n$ entonces hay dos de ellos cuya diferencia es múltiplo de $n$.

7G. Dado que el perímetro de un triángulo rectángulo es $2+\sqrt{6}$, y que la mediana a la hipotenusa es 1, encontrar su área.

Comentarios

1. Una valoración subjetiva del examen (de mi parte) es que éste se puede catalogar como difícil --digo, para ser la primera etapa del proceso. Y esto porque todos los problemas exigen algún conocimiento de matemáticas escolares muy puntual.

Por ejemplo, el fácil (el 1), requiere saber lo que es una perpendicular, un triángulo rectángulo, y el teorema del triángulo isósceles. Es decir, ninguno se puede abordar con pura creatividad. (La razón --creo-- es que ya falta solamente mes y medio para el nacional y...)

2. En el sentido del comentario anterior, el examen benefició a quienes se estuvieron preparando para él. Por ejemplo, el problema 2 pide la suma de los impares menores que 2012. Pero una solución ateórica es improbable.

Y, sin embargo, debería ser accesible para los escuelantes dado que se trata de una serie aritmética --cuyas propiedades se estudian en algún momento del curriculum de las matemáticas escolares.  (Lo mismo es cierto del problema 4, que apela obligatoriamente al significado de mínimo común múltiplo.)

En síntesis, que el examen no estaba orientado a concursantes de ocasión. (En otras palabras, se podría decir que fue un examen políticamente incorrecto.)

3. Otro ejemplo es el problema 5 (quizá más fácil que el 1), el cual pide el siguiente cuadrado perfecto de uno dado.

Si el enunciado dijera ¿cuál es el siguiente cuadrado perfecto de $y^2$? la respuesta sería posiblemente trivial --$(y+1)^2$.  Pero como, en vez de $y^2$, se dice $x$, ello obliga a un proceso de reflexión sobre el significado de cuadrado de un número --ya no tan trivial...

4. El problema 3 lleva incluida una trampa cognitiva --por lo demás involuntaria. Yo la descubrí en el momento de la evaluación, dada la alta frecuencia de una respuesta "inductiva" --y es posible construir una broma con ella:

"El profesor: la suma de dos números es 1 y la suma de sus cuadrados es 2 ¿cuál es la suma de sus cubos?"

"Los alumnos (a coro): tres, profe --pónganos uno más difícil"

Más allá de una recepción trivializante de los enunciados de los problemas matemáticos, el problema es de álgebra elemental pero difícil.

La respuesta de falsa generalización (o de "inducción intuitiva") sería de risa loca si no fuera por el hecho de que es muy real en nuestro sistema educativo mexicano: en ella se manifiestan los usos y costumbres de un sistema inmune a la crítica y que, a pesar de que debería ser un escándalo público, sigue manteniendo un alto rating.

5. La selección Victoria quedó compuesta por 2 niños de secundaria (y, sin embargo, con experiencia en concursos) y 8 de bachillerato (entrenados por Claudia).

Destaca el hecho de que los dos de secundaria son de la General 4, una secundaria que mantiene un grupo de entrenamiento en matemáticas de concurso como actividad extracurricular --a cargo del profesor Alejando Hernández. Y, bueno, hay que decir que en ese grupo se manifiesta la sensibilidad educativa de su directora (la maestra Roché).

6. Destaca también la labor de entrenamiento de Claudia Lorena Cabrera Arjona en la Preparatoria La Salle de Ciudad Victoria: Claudia y otros 7 de sus discípulos componen el resto de la selección Victoria. 

Los saluda
jmd
 

PD: El problema 6 --tal y como se esperaba-- nadie lo resolvió. Este problema es, de hecho, una parte de la demostración del conocido teorema que dice: en todo conjunto de $n$ enteros positivos hay un subconjunto cuyos elementos suman un múltiplo de $n$.