Voy a ilustrar en este post el uso de la herramienta de arrastre de Geogebra como una forma de conjeturar un lugar geométrico.
El problema
Dos rayos $l,m$ parten de un mismo punto formando un ángulo $A$, y $P$ es un punto en $l$. Para cada circunferencia $C$, tangente a $l$ en $P$, que corte a $m$ en puntos $Q$ y $R$, $T$ es el punto donde la bisectriz del ángulo $QPR$ corta a $C$. Describe la figura geométrica que forman los puntos $T$. Justifica tu respuesta.
Geogebra experimentación (el arrastre y la huella)
Una vez habiendo dibujado la figura para alguna circunferencia, con la herramienta de arrastre vamos a generar muchas circunferencias que cumplen la condición del enunciado. La idea clave es que el punto $T$ depende de la circunferencia a través de $Q$ y $R$ y la bisectriz del ángulo $QPR$.
La otra cosa que hay que saber es que los centros de las circunferencias por generar están todos en la perpendicular al rayo $l$ en el punto P (la tangente es perpendicular al diámetro).
Una vez sabiendo esto, lo que sigue es activar la herramienta denominada rastro para el punto $T$. Esto se hace poniendo el puntero del mouse sobre el punto $T$ y con un click derecho se mostrará el menú de opciones. Se elige activar rastro (si está palomeada significa que ya está activada).
A continuación se toma el puntero de arrastrar (herramienta de elegir y mover) y se lleva el puntero hasta el centro de la circunferencia y bueno... se arrastra sobre la perpendicular al rayo. El efecto es que el punto $T$ va a dejar un rastro el cual servirá para conjeturar el lugar geométrico buscado.
Notemos que en este problema no es claro cuál es el lugar geométrico que describe $T$ a pura imaginación, pues su dependencia del centro es bastante complicada: mueves el centro, se mueve la ciercunferencia, con ella los puntos $Q$ y $R$ y, finalmente, debe moverse la bisectriz, etc.
En cambio con Geogebra, sólo tienes que arrastrar el centro y aparece el lugar geométrico. Y bueno, eso es todo lo que hace la herramienta de arrastre combinada con la de rastro.
Lo que sigue es demostrar que el lugar geométrico conjeturado es el realmente buscado. Y para ello no hay más que aplicar los teoremas geométricos adecuados --con trazos auxiliares, cacería de ángulos, o la estrategia que quede sugerida por la configuración y la conjetura.
Nótese que sin la conjetura ni siquiera se puede empezar a idear una estrategia de prueba. Si ya hicieron el arrastre entonces debería ser claro que la conjetura evidente es: semirrecta con inicio en el rayo $m$ (el que no contiene a $P$) y alejándose de P.
Y si observamos un poco más el efecto del arrastre, se podrá ver que la bisectriz del ángulo en $P$ no se mueve, y se ve que el lugar geométrico buscado debe ser la parte de esa bisectriz a partir del rayo que no incluye $P$.
Ahora bien, ya teniendo la conjetura, debería ser claro que el ángulo $APT$ debería ser constante. Y buscar demostrar esto será el objetivo del trabajo de demostración.
El applet
En el siguiente applet arrastra el centro $D$ de la circunferencia y observa que la bisectriz permanece inmóvil.
La demostración
Si unimos con un segmento de recta el centro $D$ de la circunferencia y $T$, es fácil ver que ese segmento pasa por el punto medio de la cuerda $QR$ (pues biseca el arco $QR$). Por tanto es perpendicular a ésta (pues el triángulo $QDR$ es isósceles).
Se concluye que el ángulo exterior en $D$ del isósceles $PDT$ es congruente con el ángulo $A$. De aquí que el ángulo $TPD$ mida la mitad. Pero el ángulo $A$ es fijo. En síntesis, la bisectriz del ángulo $QPR$ permanece fija sin importar dónde esté el centro de la circunferencia tangente al rayo $AP$.
Ahora bien, es fácil ver que cuando esa circunferencia también es tangente al otro rayo, los puntos $Q,R,T$ coinciden. Y no existen cuando tal circunferencia está dentro del ángulo dado.
Por tanto, el lugar geométrico buscado es la parte de la bisectriz del ángulo $QPR$ (generado por cualquier circunferencia que interseque al rayo $m$) que inicia en la intersección de aquélla con el rayo que no contiene a P y se aleja de éste.
Los saluda
jmd
PD: El problema es el 2 del concurso nacional de la OMM, Querétaro 1998.
PD2: Algún usuario avanzado de Geogebra me dirá: "más eficiente es el uso de la herramienta denominada lugar geométrico. Y yo (como diría la chica fresa): "Ya seeeeeeé" -- "¿por qué no lo explicas en la sección de comentarios...?"