Conocer la cultura matemática –el tránsito de novicio a experto.

Introducción

Uno de los teoremas más básicos de la geometría euclideana es el de la suma de ángulos internos de un triángulo (de hecho, por ser tan elemental, no es claro que se le pueda llamar teorema).  Para el principiante que ve su demostración diagramática por primera vez, la interpretación del diagrama puede llegar a ser una experiencia visual muy gratificante: trazas una paralela a un lado por el vértice opuesto a ese lado y el resultado se hace evidente.

Y, sin embargo, hay que conocer el teorema --más elemental aún-- de las paralelas y la transversal. En particular: los ángulos alternos internos son iguales.

Pero también puede suceder que esa demostración solamente le produzca indiferencia o bien no entiende por qué ese diagrama demuestra el teorema. Porque para el aprendiz nada es evidente. Para que la demostración diagramática sea evidente para él, tiene que desarrollar habilidades de visualización --para ver lo que debería ver en una configuración geométrica. Una habilidad que se adquiere con la práctica y que podríamos llamar la habilidad de "ver como". Y para ello se requiere tiempo.

La metáfora del turista

Ese fenómeno de no ver lo que se debería ver sucede en todos los ámbitos del acontecer humano: los campesinos se ríen del citadino porque éste no puede ver lo que para ellos es obvio. En general, cada quien tiene sus esquemas de interpretación y de acuerdo a ellos interpreta lo que ve, oye y lee.

Puede llegar a ser muy desagradable conversar con personas fuera de tus círculos de afinidad, puesto que no interpretan adecuadamente lo que estás diciendo o bien te preguntan constantemente sobre el significado de lo que dices. Ello se debe a que no comparten los mismos códigos y, por lo tanto, se les dificulta la comprensión. Eso es lo natural en la interacción humana. El ejemplo por excelencia de una comunicación malograda es el turista.

La metáfora del turista puede echar alguna luz en el aprendizaje de las matemáticas. Sucede que el turista quiere conocer la cultura que visita, pero a la vez quiere mantener su calidad de turista. Es decir, no desea mezclarse realmente con los nativos, no desea interactuar demasiado con ellos --sobre todo porque no los entiende.

Más bien lo que le interesa es mantener sus interacciones con los otros turistas que visitan el lugar. Pero entonces lo que está conociendo es una ficción construida por sus compañeros turistas y la industria del turismo. El nativo para el turista es un ser idealizado y exótico. (La mayoría de las personas ven a las matemáticas con ojos de turista.)

De esta manera, el turista incurre en la paradoja de querer conocer la cultura nativa, pero al mismo tiempo evita sumergirse en ella. Las relaciones sociales las establecen con quienes comparten su condición de turista. Y, sin embargo, el turista juraría que quiere conocer el lugar exótico (objetivo declarado), pero lo que realmente está haciendo es conocer a los otros turistas (objetivo manifiesto). El resultado es que las representaciones erróneas de la cultura nativa se refuerzan mutuamente entre los turistas.

Pero también hay turistas por cuenta propia que sí se involucran en la cultura nativa. E incluso hay quienes se quedan a vivir ahí o bien adoptan algunos rasgos culturales de ella.

La participación en la Olimpiada de Matemáticas como journey

La participación en la Olimpiada Mexicana de Matemáticas es equiparable a un viaje al mundo de las matemáticas, en el cual la interacción social es inevitable. Pero el adolescente interesado en las matemáticas haría muy bien en imitar a los turistas por cuenta propia --como opuesto a los tours organizados por las agencias especializadas.

Las relaciones que se establecen entre los adolescentes que han manifestado su interés por conocer más a fondo las matemáticas, son relaciones contingentes que pueden llegar a ser experiencias muy gratificantes. En el viaje se adquieren conocimientos, se aprenden nuevos códigos, se exteriorizan juicios y prejuicios, se provocan emociones y se crean conflictos. La confrontación con los otros es fuente de aprendizajes.

La inmersión en la cultura de las matemáticas es lo que puede conducir al aprendiz a adquirir las habilidades de ver lo que se debería ver dentro de esa cultura (la habilidad del "ver como"). Si un adolescente realmente quiere llegar al concurso nacional, es obligatorio para él meterse a fondo en esa cultura, convertirse en nativo. Porque el nativo conoce su territorio, sabe con quién ir, a quien preguntar, sabe interpretar los signos locales correctamente.

Ilustraciones del “ver como” –tomados de la geometría elemental

Pero regresemos a los teoremas básicos mencionados al principio. 1)En la configuración de dos paralelas y una transversal, los ángulos alternos externos son iguales. 2) La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 grados.

No vamos a demostrarlos aquí –de hecho las figuras son ya una demostración visual. Baste decir que ambos se pueden tomar como axiomas o postulados para propósitos de concurso. Sin embargo, al novicio interesado le interesará saber que el de los ángulos internos se deriva del primero --si además se sabe que los ángulos llanos miden 180 grados.

El tema que deseo plantear aquí –como ilustración de la cultura matemática-- es la utilidad en solución de problemas de los conceptos de complementariedad (ángulos complementarios) y suplementariedad (ángulos suplementarios).

Una instancia de uso de suplementariedad es la demostración del teorema del ángulo externo: La medida de un ángulo externo (de un triángulo) es la suma de los dos internos no adyacentes.

 

Para el novicio no es fácil ver (a pesar de que para el ojo entrenado es evidente) la necesidad (obligatoriedad) del resultado. ¿Cómo explicarle que el externo tiene que medir la suma de los dos no adyacentes --puesto que el externo es suplementario del adyacente? La respuesta está en el álgebra. (¿Y si no sabe algebra? --dirán algunos. Bueno, pues en ese caso --diría yo-- no debería apuntarse para concursos.)

Sabiendo simbolizar algebraicamente, la explicación es fácil: llama z al adyacente y w al externo. Como forman un llano, entonces --por definición-- z+w=180. Si ahora llamamos x, y a los no adyacentes, entonces, por suma de ángulos interiores del triángulo, se tiene z+y+z=180. Y se llega a w=x+y. Notemos, de paso, que en esta ecuación basta conocer dos medidas para calcular la tercera. (Si en vez de no adyacentes les llamamos lejanos, la fórmula es fácil de recordar:  externo=lejano1+lejano2.)

Supongamos que con esta explicación logremos convencer al novicio de la veracidad del teorema --o mejor dicho, que el argumento algebraico le haga sentido, que no lo deje indiferente. El siguiente paso es que el argumento de suplementariedad sea evidente para él. Que de un vistazo vea la necesidad del teorema. Y eso se logra practicando su uso en problemas. (Un teorema es un problema que ya ha sido formalizado.)

(Ilustración 1) Teorema de los ángulos inscrito y central: La medida del ángulo inscrito es la mitad del central.

 

(Aquí, al novicio le bastaría recordar que el triángulo mostrado es isósceles y que en los isósceles los ángulos en la base son iguales.)
 
(Ilustración 2) Teorema de las cuerdas cruzadas: La medida de un ángulo formado por dos cuerdas que se intersectan dentro del círculo es la semisuma de los arcos intereptados por el ángulo y su opuesto por el vértice. 
 

 

(Hay que saber que todos los inscritos con el mismo arco interceptado son iguales.)

(Ilustración 3) Ángulo entre dos secantes: El ángulo formado por dos secantes que se intersectan fuera del círculo mide la semidiferencia de sus arcos interceptados.

 

(Aquí es necesario usar la ecuación “lejano1+lejano2=externo”, pues la incognita es uno de los lejanos.)

(Ilustración 4) También es posible argumentar por ángulo externo el teorema del ángulo inscrito en una semicircunferencia:

 
(Basta con darse cuenta que los ángulos formados en el centro son ambos externos.)

Finalmente ilustremos el uso de la complementariedad de ángulos en la solución de problemas, con un teorema elemental de la geometría del círculo.

(Ilustración 4) Teorema del ángulo semi-inscrito (o de la tangente y la cuerda): La medida de un ángulo formado por una tangente y una cuerda con extremo en el punto de tangencia es igual a la de un ángulo inscrito con arco interceptado el subtendido por la cuerda.

 

(Basta ver que ambos ángulos sombreados son complementarios de un mismo ángulo: uno por el teorema del radio y la tangente, y el otro por el teorema del ángulo inscrito en una semicircunferencia.)

Los saluda
Jmd

PD: el 27 de marzo es el concurso ciudades (la etapa municipal) de la XXIII OMM tamaulipeca; en estos días publicamos la convocatoria.