En este post voy a recomendar el estudio de algunos materiales sobre cuadriláteros cíclicos a quienes se están preparando para el nacional. De paso intercalo dos instancias de su uso.
En un post anterior --dedicado a los criterios de reconocimiento de los cuadriláteros cíclicos-- hemos destacado la importancia de esta herramienta en el problem solving de geometría y discutimos varias instancias de uso asociadas a demostraciones del teorema de la mariposa.
Un texto anónimo
En éste, inicio recomendando a los lectores de MaTeTaM la excelente colección de problemas (para el nivel de quien se está preparando para el concurso nacional de la OMM) del artículo denominado Cuadriláteros Cíclicos --descargable en el sitio de la ONMAPS de Guanajuato. (Lo atacho también en este post --en PDF.)
Este texto incluye 4 ejemplos no triviales y 34 problemas --algunos más fáciles que otros pero todos al alcance del aprendiz en preselección estatal de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Curiosamente es un texto anónimo (nadie se atribuye su autoría). Posiblemente sea una compilación o una traducción de alguien. De ahí elijo la primera instancia de uso.
Problema 11. Sea ABCD un cuadrilátero cíclico con diagonales perpendicularesque se cortan en P. Sea $l$ la recta que pasa por P y es perpendicular al lado AB. Demostrar que $l$ pasa por el punto medio del lado CD.
El shuyriguin
Otro texto de geometría que recomiendo estudiar es el libro de Jesús Jerónimo Castro. En particular, el capítulo de cuadriláteros cíclicos. Este importante libro de geometría de concurso, denominado Geometría en Olimpiadas de Matemáticas, no ha sido publicado por ninguna editorial --pero es descargable en varios sitios Web relacionados con las olimpiadas de matemáticas en México.
Conocido también como "El Shuyriguin", este libro es ya una leyenda entre los aficionados a las matemáticas de concurso en México. Primero por ser muy bueno y segundo porque se distribuye de manera subterránea vía Web sin haber sido publicado.
Según es sugerido por el pseudónimo, la aspiración de Jerónimo sería (o fue) acercarse al nivel del legendario texto de I.F.Sharygin (Problems in Plane Geometry) --también distribuido de manera gratuita en Internet.
Esta hipótesis se refuerza si uno ve el temario del Shuyriguin: el capítulo de cuadriláteros cíclicos no es un capítulo sino el apartado 5 del primero (Conceptos y teoremas básicos). Esto es indicio de que la obra planeada por Jerónimo era mucho más ambiciosa que la que actualmente está disponible en la Web.
(El Sharygin fue editado por la editorial MIR en inglés y en ruso en 1988, pero actualmente es inconseguible en las librerías.)
Del Shuyriguin elijo la siguiente instancia de uso (es el problema I.46):
En un cuadrado ABCD, M es el punto medio de AB. Una línea perpendicular a MC por M intersecta AD en K. Demuestra que $\angle{BCM} = \angle{KCM}$.
Solución
En primer lugar hay que notar que el cuadrilátero MCDK es cíclico (opuestos de 90). Así que, iniciando con el ángulo KCM, se puede establecer la igualdad de los ángulos sombreados --digamos que su medida sea $y$
.
Sea $x$ la medida del ángulo complementario.
Puesto que los triángulos AMD y BMC son congruentes (criterio LLL), también mide $x$ el ángulo BMC.
Y, por complementariedad, se llega al resultado.
(Creo que fueron demasiadas figuras...)
Geometry Unbound
Otro texto de geometría que recomiendo --muy famoso en las comunidades de aficionados a las matemáticas de concurso-- es el libro de Kiran Kedlaya denominado Geometry Unbound.
Este texto de Kedlaya (ex-olímpico y entrenador de las selecciones americanas --entiéndase de Estados Unidos de América) está disponible en la Web, así como las soluciones de sus ejercicios redactadas por sus fans.
De este texto no añado ninguna instancia de uso pues este post ya se alargó demasiaddo.(A diferencia del libro de Jerónimo, el de Kedlaya está pensado para ser distribuido gratuitamente, es decir, es Open Source. Ver la página dedicada al libro.)
Epílogo
Se tiende a creer que el tema de los cuadriláteros cíclicos es un tema avanzado. Una consecuencia inmediata de esta creencia (de los entrenadores, por ejemplo) es que el tema es aplazado en los entrenamientos, es decir, se tiende a posponer su estudio.
Yo creo que solamente se debe posponer su estudio hasta no estudiar la geometría básica del círculo. Pero se puede adelantar si ambos temas se estudian en paralelo. Es más, creo que se deben ver los cuadriláteros cíclicos como instancias de uso de la geometría del círculo.
Los saluda
jmd
PD: Cuando investigué en la Web la literatura de cuadriláteros cíclicos me encontré con la siguiente frase que me parece digna de reproducir:
La probabilidad de ocurrencia de un cuadrilátero cíclico es cero... pero en geometría de concurso su probabilidad es 1.
Y, bueno, esto significa que en los libros usuales de geometría (y en el aula) es notable la ausencia de los cuadriláteros cíclicos, pero en los orientados a concurso le dedican todo un capítulo.
PD: Enseguida la solución de la primera instancia de uso de cuadriláteros cícliocos
| Adjunto | Descripción | Tamaño | |
|---|---|---|---|
 | cuadrilateros-ciclicos.pdf | Cuatro ejemplos y 34 problemas para ejercitar el uso de los cuadriláteros cíclicos en geometría de concurso. | 103.31 KB |
| libro_shuyriguin.pdf | Libro de geometría (Shuyriguin) de Jesús Jerónimo Castro | 605.58 KB |
| gu_kedlaya.pdf | Libro Geometry Unbound de Kiran Kedlaya. | 582.1 KB |
| solutionoftheproblemsofgeometryunbound.pdf | Soluciones a algunos problemas del Geometry Unbound | 129.21 KB |