Desigualdad de Titu --una demostración booteable

Voy a presentar en este post una forma de demostrar la desigualdad de Titu Andreescu que recuerda los procesos de bootstraping utilizados en computación --y otras áreas de la ciencia. El término bootstrapping está inspirado --verosímilmente-- en Las Sorprendentes Aventuras del Baron de Munchausen. (Una serie de narraciones donde el héroe realiza tareas imposibles.) Atacho una traducción al español.

Sobre el significado de bootstrap

Como se sabe, el término bootstrap se usa como metáfora para significar un proceso autosustentable que procede sin ayuda externa. Hace referencia al imposible evento de que alguien logre elevarse jalando hacia arriba las correas de sus botas.(No hay traducción aceptable de bootstrap al español, pero literalmente significa correa de la bota --de la cual se jala para acomodar el pie en ella.)

En computación el término se ha simplificado a booting significando el proceso de inicialización del software al encender la computadora. El proceso consiste de una cadena de etapas, donde cada una de ellas carga un programa y ejecuta un programa mayor en la siguiente.

El booting o booteo --para usar el anglicismo descaradamente-- es un proceso que procede con sus propios medios sin ayuda externa. También se le puede llamar proceso de automejora recursiva. (Se dice que un software es booteable cuando se autoinstala.) Ver el artículo de la wikipedia para más detalles 

Y, bueno, en este post les presento una demostración booteable --en una especie de inducción no estándar-- de la desigualdad de Titu. (Las gracias le sean dadas a JRV por llamar mi atención sobre esta demostración.) La demostración es booteable en el sentido de que usa el teorema para n variables al demostrar el de n+1.

La demostración --de la desigualdad de Titu

Si suponemos cierta la desigualdad $$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq\frac{(a+b)^2}{x+y}$$ ($x,y$ reales positivos) Entonces podemos demostrar la desigualdad
$$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$$ ($x,y,z$ reales positivos)
Pues, al cumplirse la desigualdad para dos fracciones,
$$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq\frac{(a+b)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}$$
Y estamos en el caso de dos fracciones. El resultado se sigue. (Y lo mismo se puede hacer para pasar de tres a cuatro y de cuatro a cinco, etc.)

En síntesis, la desigualdad se apoya en sí misma (jala las correas de sus botas) para elevarse a la siguiente dimensión. ¿No es maravilloso amigos?

Ahora bien, la versión para dos dimensiones de la desigualdad de Titu se puede demostrar con álgebra simple: eliminando denominadores, abriendo paréntesis y simplificando se llega a
$$\frac{a^2y}{x}+\frac{b^2x}{y}\geq2ab$$
Lo cual es equivalente a
$$(ay-bx)^2\geq0$$
Y la demostración se sigue, pues todos los pasos son reversibles. ¿No es maravilloso amigos?

Los saluda
jmd

PD: Para fines de máximos y mínimos, es importante que se especifique en las desigualdades las condiciones para que la igualdad se cumpla. De la demostración para dos fracciones debería ser claro que la igualdad se cumple si y sólo si $$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=k$$
Esta condición es fácilmente comprobable para el caso general. Es decir, la condición de igualdad para el caso general es:
$$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\ldots=k$$

PD2: Si conocemos la desigualdad de Cauchy, entonces la de Titu
$$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$$
Puesta en la forma
$$(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z})(x+y+z)\geq(a+b+c)^2$$
revela que el lado izquierdo es el producto de las normas al cuadrado de los vectores...
Bueno, X --como dijo la chica fresa--, la cosa es que, bajo el cambio de variables
$$x=\beta^2_1,y=\beta^2_2,z=\beta^2_3$$
$$a=\alpha_1\beta_1,b=\alpha_2\beta_2,c=\alpha_3\beta_3$$
La desigualdad de Titu se convierte en
$$(\alpha^2_1+\alpha^2_2+\alpha^2_3)(\beta^2_1+\beta^2_2+\beta^2_3)\geq(\alpha_1\beta_1+\alpha_2\beta_2\alpha_3\beta_3)^2$$
Y ¿qué vemos aquí? ¡Cauchy-Schwarz! ¿no es cierto? (La condición de igualdad es facilmente transferible a $\alpha_i=k\beta_i$.) ¿No es maravilloso amigos?
 

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