El difícil de la olimpiada de la SET (Jugando con las Matemáticas)

Ocho albañiles construyen una barda de 30 metros en 9 días trabajando 6 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán 10 obreros para construir 50 metros de barda trabajando 8 horas diarias?

Este problema fue el último (el 5) del examen estatal de la olimpiada para tercero de secundaria celebrada el 26 de marzo en Cd Victoria Tamaulipas. Ninguno de los tres concursantes lo resolvió. ¿En qué consiste su dificultad? Voy a comentar en este post la solución y a compararlo con un problema clásico de proporcionalidad inversa.

Problema típico de proporcionalidad inversa

Como se sabe los problemas de proporcionalidad inversa son difíciles, sin importar el nivel de escolaridad. En su forma clásica, dos o más agentes realizan una tarea T, cada uno a "su propio ritmo".

Se trata de saber cuál es el "ritmo conjunto". Por ejemplo, el agente A se tarda s unidades de tiempo y el B se tarda t unidades de tiempo. Se pide cuánto se tardan si trabajaran en conjunto. Esta descripción incluye el ejemplo clásico de llenado de una alberca con dos (o más) mangueras, cada una con un cierto gasto o velocidad de entrega del líquido.

El razonamiento usual y preferente para este tipo de problemas se basa en el concepto de eficiencia individual (fracción de la tarea realizada por unidad de tiempo). Así, si A se tarda s unidades de tiempo para realizar la tarea, la eficiencia de A es 1/s. Y si B se tarda t unidades, su eficiencia es 1/t. De aquí que su eficiencia conjunta sea 1/s+1/t.

Una forma de retener en la memoria este razonamiento es hacer la analogía con velocidades (donde la distancia a recorrer es la tarea). En esta analogía, la distancia es la tarea, la cual es unitaria en la mayoría de los problemas. Como en el siguiente ejemplo:

Según su historia pasada se conoce el rendimiento de dos pintores de brocha gorda. Mario, trabajando solo, tarda 4 días en pintar una casa; Luis, por su parte, la pinta en 8 días. Luis empieza a pintarla solo y, algunos días después, Mario lo reemplaza --por razones que no vienen al caso aquí. El resultado fue que la casa quedó pintada en 5 días. ¿Durante cuánto tiempo trabajó Luis?

Solución algebraica

De acuerdo al enfoque de eficiencia, la velocidad o eficiencia de Luis es 1/8 y la de Mario 1/4. Sea L el número de días que Luis trabajó. Mario, en consecuencia, trabajó 5-L días. Ahora bien, recordando la analogía, velocidad por tiempo es igual a la distancia recorrida --la cual es aquí la fracción pintada de la casa. Entonces, L/8+(5-L)/4=1.

Y, bueno, esta ecuación es lineal y todo mundo puede resolverla. Lo difícil es plantearla. (Notemos que se iguala a 1 pues la tarea es unitaria, es pintar la casa, una casa.)

Multiplicando la ecuación por 8 (para eliminar denominadores) se obtiene la ecuación equivalente L+10-2L=8, es decir, L=2. La respuesta es entonces que Luis trabajó dos días --y agarró la jarra-- y Mario tuvo que terminar en 3 días más.

Solución de sentido común

Según los datos, Luis avanza 1/8 de casa diario y Pablo 1/4 diario. Ello sugiere que dividamos la casa en octavos. De esta manera Luis avanza 1/8 diario y Pablo 2/8. Como se tardan 5 días, experimentando un poco se llega a que 2/8+6/8=1. Es decir, Luis trabajó 2 días (y terminó 1/4 de la casa) y Pablo trabajó 3 días y terminó los restantes 3/4.

Solución al problema de la olimpiada de la SET

Este problema es doblemente difícil dado que no es el problema típico de proporcionalidad inversa. En primer lugar, la eficiencia de los agentes (albañiles) se supone constante --algo inusual en problemas de este tipo.

En segundo lugar, la tarea no es unitaria (como es lo usual) sino que se mide en metros de barda terminada. En tercer lugar, se consideran dos tipos de jornada: de 6 y de 8 horas.

Hay que pensarle un rato para darse cuenta que la verdadera incógnita es la eficiencia de los albañiles en metros de barda por hora. Enseguida el resumen de los cálculos:

La última fila significa que 10 albañiles terminan 50 metros de barda en 72 horas. Pero 72=9x8. Por tanto, la respuesta es: 10 albañiles terminan 50 metros de barda en 9 días (trabajando 8 horas diarias). 

Los saluda
jmd