Voy a discutir en este post algunos conceptos relacionados con las circunferencias incrita y exinscrita. Dichos conceptos forman un todo y conviene aprenderlos en paquete --es muchísimo más fácil retenerlos en la memoria y comprenderlos si se aprenden en sus interconexiones.
Se trata de los conceptos de semiperímetro --en el contexto de ciertas simetrías entre las longitudes de las tangentes de circuncírculo y excírculos--, el concepto de puntos isotómicos, y el de los puntos de Gergonne y Nagel --como ejemplo de puntos conjugados isotómicos.
Uno de los resultados obtenidos es el hecho de que, en un lado de un triángulo, los puntos de tangencia al circuncírculo y excírculo son conjugados isotómicos, cumpliendo así la promesa de postear un teorema usado en la solución del problema clásico de homotecia.
Debido a que --según creo-- demostrar este hecho de manera aisalada, hace que pierda mucho de su sentido natural, aproveché la ocasión para insertarlo en esta discusión en la cual --en mi opinión-- adquiere su sentido pleno, y sirve como enlace para conectar los conceptos y teoremas discutidos.
Excírculo e incírculo
En problemas de concurso es muy útil tener un buen inventario de trucos listos para usar. Uno de ellos es la longitud de las tangentes desde los vértices de un triángulo a los puntos de tangencia de las circunferencias inscrita (incírculo) y exinscrita (excírculo).
A pesar de su aparente trivialidad, tales longitudes son muy útiles para demostrar varios teoremas y en la resolución de algunos problemas de concurso en los que aparecen un triángulo y círculos asociados.
Como se sabe, el incírculo (o circunferencia inscrita) de un triángulo es la circunferencia que está dentro del triángulo y es tangente a sus lados. Una circunferencia exinscrita (en uno de los lados del triángulo), por otro lado, es la circunferencia fuera del triángulo, pero tangente al lado y a las prolongaciones de los otros dos. Enseguida se presentan el incírculo y el excírculo en el lado $BC$
Etiquetado de las longitudes de lados y tangentes
Recordemos que, en la terminología clásica, los lados del triángulo se etiquetan (para nombrarlos durante el discurso) con la letra minúscula correspondiente al nombre del vértice opuesto.
De acuerdo a esta convención, $a$ es la medida del lado opuesto al vértice $A$, $b$ es la medida del lado opuesto al vértice $B$, y $c$ es la medida del lado opuesto al vértice $C$. (En la figura anterior no se incluyen estas etiquetas para no recargar el dibujo.)
De acuerdo a un teorema conocido, la longitud de las dos tangentes a una circunferencia, trazadas desde un punto exterior a ella, es la misma. De esta manera, con referencia a la figura anterior, las longitudes de las tangentes $AG$ y $AF$ son iguales. En la siguiente figura, se han etiquetado las tangentes desde cada vértice a la circunferencia inscrita con $x,y,z$.
El concepto de semiperímetro
De acuerdo a lo recién dicho sobre la convención de etiquetado de tangentes y lados, el perímetro del triángulo se expresa como $p=a+b+c$. Pero, en términos de las tangentes se expresa como $p=2(x+y+z)$. De aquí que, de manera natural, surge como una convención universal el usar la mitad del perímetro --al cual se le llama semiperímetro y se denota con $s$-- para nombrar a la suma $x+y+z$.
Es decir, $s=p/2=x+y+z$. (El concepto de semiperímetro, es muy útil para simplificar algunas fórmulas, por ejemplo, la fórmula de Herón.)
Los lados del triángulo en términos de las tangentes
De la figura, es fácil ver que los lados del triángulo se pueden expresar como la suma de dos de las tangentes:
$$a=y+z$$
$$b=z+x$$
$$c=x+y$$
Así que, si sumamos en ambos lados de cada una de las ecuaciones anteriores la tangente ausente, se obtienen unas ecuaciones muy interesantes:
$$a+x=s$$
$$b+y=s$$
$$c+z=s$$
Es decir, hemos expresado el semiperímetro del triángulo en términos de un lado más una tangente. Y si las expresamos de una forma ligeramente diferente, las fórmulas anteriores dan lugar ecuaciones aún más interesantes (las tangentes expresadas en términos del semiperímetro y uno de los lados del triángulo):
$$x=s-a$$
$$y=s-b$$
$$z=s-c$$
Estas expresiones de las tangentes se pueden verbalizar diciendo: "la longitud de la tangente es igual al semiperímetro menos la longitud del lado opuesto".
Tangentes del excírculo
Como se ve en la figura, las tangentes al excírculo asociado al lado $BC$, se han etiquetado con las letras $u,v$. Vamos a expresar su longitud en términos del semiperímetro y uno de los lados del triángulo, de lo cual resultará una fórmula muy útil y un concepto nuevo.
Recordemos primero que las longitudes de las tangentes a una circunferencia, trazadas desde un punto, tienen la misma longitud. Eso nos lleva, de manera inmediata, a la siguiente ecuación:
$$x+y+u=z+x+v$$
O bien:
$$c+u=b+v$$
Pero si observamos otra vez la figura, debería ser claro que sumando los dos lados se obtiene el perímetro del triángulo. Es decir, cada uno de los lados de la ecuación anterior es el semiperímetro $s$ (cada uno de los lados de la ecuación es la mitad del perímetro del triángulo).
Esta observación permite expresar las longitudes de las tangentes al excírculo en términos del semiperímetro y uno de los lados del triángulo:
$$u=s-c$$
$$v=s-b$$
Las fórmulas anteriores se pueden verbalizar diciendo: "la longitud de la tangente al excírculo es igual al semiperímetro menos el lado que prolonga".
En la siguiente figura se presenta un resumen de lo que hemos descubierto:
Lo que hemos descubierto es que $BD=CL$. Es decir, la longitud de la tangente al excírculo (correspondiente a un lado del triángulo, digamos el $BC$), trazada desde un vértice del lado, digamos el $B$, es igual a la longitud de la tangente al incírculo desde el otro vértice de ese lado.
Una consecuencia inmediata es que, en un lado de un triángulo, los puntos de tangencia al incírculo y el excírculo son simétricos respecto al punto medio de ese lado.
A dos puntos en un lado de un triángulo simétricos respecto al punto medio del lado se les llama puntos isotómicos. Entonces, los puntos de tangencia de incírculo y excírculo en una lado de un triángulos son puntos isotómicos.
Puntos de Gergonne y de Nagel
Es fácil comprobar aplicando el teorema de Ceva que las cevianas a los puntos de tangencia del incírculo concurren (x/y)(y/z)(z/x)=1). Al punto de concurrencia se le llama punto de Gergonne.
También aplicando Ceva, es inmediato (usando las longitudes de las tangentes a los excírculos recién descubiertas) que las cevianas a los puntos de tangencia de los excírculos también concurren en un punto denominado punto de Nagel.
Los saluda
jmd