Iba a poner un post sobre división sintética. Lo pospuse para el siguiente. Pues ese algoritmo requiere saber los rudimentos de la división larga. Así que me entretuve (trasquilé la borrega) averiguando cómo se hace (si es que se hace) para enseñar la división larga en la primaria. Y el resultado es este post sobre la división larga. Pues tengo la sospecha (que no carece de evidencia) de que más de la mitad de los alumnos de secundaria no manejan ese algoritmo --mi evidencia son mis alumnos en la universidad... Así que hoy voy a elaborar sobre el algoritmo de la división larga, y en un próximo post lo haré sobre la división sintética. Iniciaré con
Un ejemplo:
Encontrar el cociente y el residuo al dividir 75 319 entre 834
Quien sabe el algoritmo, lo ejecuta a ciegas (sigue la regla a ciegas). Es decir, no desglosa los pasos como lo voy a hacer aquí.
Como se sabe, hay que seccionar el dividendo (75 319) de manera que el divisor "quepa" al menos una vez en la primera sección. En este caso, la primera sección del dividendo debe ser 7531 (834 cabe varias veces en ella, pero no cabe ninguna en 753). Es decir, representamos el dividendo como 75 319=75 310+9.
Ahora estimamos las veces que cabe 834 en 7531. Supongamos que nuestra estimación es que cabe 8 veces.
Verificación de la hipótesis: 6(834)=6672, y 7531-6672=859
Actualización de la hipótesis: cabe 9 veces (y sobran 859-834=25).
Ahora "se baja el 9" y el proceso se repite con 259 entre 834. Ilustremos con la "casita":
Otra forma de ejecutar el algoritmo de la división
La conocida "casita" que usamos en la división larga es una forma de organizar los cálculos. Ha sido probada en la práctica por siglos. Pero además del procedimiento usual de la "casita", el proceso (de calcular el cociente y el residuo) puede representarse (y ejecutarse) de otra manera --una manera más cercana al álgebra. Para el ejemplo, es la siguiente:$$\frac{75319}{834}= \frac{75310}{834}+\frac{9}{834}$$ $$=90+\frac{250}{834}+\frac{9}{834}=90+\frac{259}{834}$$
Destaquemos que "la casita" pone el acento en la eficiencia (su aspecto de por qué funciona queda en un plano secundario), mientras que este último procedimiento (de manipulación de quebrados) pone en evidencia su razón de ser (pero tiene que pagar un precio en unidades de ineficiencia).
Digamos, entre paréntesis, que también podría verse "la casita" como una forma de organizar los cálculos del procedimiento de manipulación de fracciones --y éste como un rationale (una razón de ser) del de la casita.
¿Por qué no me lo enseñaron en la escuela?
Lo que tenemos aquí es una dialéctica entre eficiencia y claridad. Se puede establecer un procedimiento de compromiso entre ambos extremos, pero no se puede tener un procedimiento que sea al mismo tiempo eficiente y cognitivamente cristalino. Porque el algoritmo tiene una lógica secuencial y mecanizada --por definición de algoritmo. Y la demostración de su eficacia está en otro nivel de abstracción, es otro nivel de competencia.
Cuando alguien, ya en su madurez (o vejez), descubre la razón de ser del algoritmo de la división larga y queda impactado por la simplicidad de su lógica, entonces se dirá ¡por qué no me explicaron esto en la escuela! E incluso puede ser que ese impacto emocional lo lleve a proponer un algoritmo sustituto (más intuitivo, seguramente dirá).
Pero ¡Dios guarde la hora si tiene cierta influencia mediática o decisional en la educación matemática! Porque entonces abrirá un debate sin fín sobre si el algoritmo usual de la división larga debería ser sustituido por uno "más intuitivo" como el de él.
Resultado: el entusiasta de las "matemáticas intuitivas y para todos" sembró la semilla de una guerra de opiniones --independientemente de su fundamentación-- sobre qué si y qué no enseñar en las matemáticas escolares.
Y ya no importará que los matemáticos se pronuncien a favor o en contra de tal o cual decisión curricular, pues un decreto presidencial de reforma educativa es un "palo que ni Dios lo quita".
Math Wars
En Estados Unidos el "palo" lo dio la NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) en la década de 1990 (los NCTM Standars se publicaron en 1989), al recomendar la desenfatización (lo cual, en la práctica, fue sinónimo de eliminación) de las actividades de lápiz y papel en la enseñanza de las matemáticas. Un "palo" que desencadenó lo que se conoció como las Math Wars.
Enseguida un fragmento de la carta de protesta de la American Mathematical Society contra los NCTM Standars y, en particular, a favor de la división larga. (La carta se publicó en el número de febrero de 1998 de Notices of the American Mathematical Society):
Los algoritmos estándar pueden verse como análogos a la ortografía: en cierta medida son una convención, y no es esencial que los estudiantes operen con ellos desde el primer dia o en su pensamiento privado; pero eventualmente, en términos de comunicación y comprensión mutua, es altamente deseable que todos (o casi todos --pues siempre hay casos excepcionales) aprendan una forma estándar de ejecutar las cuatro operaciones aritméticas. (Los algoritmos estándar no tienen que ser absolutamente únicos, de la misma manera que hay variaciones entre las palabras americanas y las de Inglaterra, pero demasiada variación conduce a dificultades.) No creemos que sea muy sabio que se deje a los estudiantes inventar sus propios (no probados) algoritmos privados para las operaciones aritméticas --pues tales algoritmos pueden ser válidos solamente para una subclase de problemas. La virtud de los algoritmos estándar --la garantía de funcionar para todos los problemas del tipo para el que fueron ideados-- merece enfatizarse.
Nos gustaría enfatizar que los algoritmos estándar de la aritmética son más que sólo "formas de lograr la respuesta" --es decir, tienen también significancia teórica. Porque todos los algoritmos de la aritmética son preparatorios para el álgebra, puesto que constituyen (no por accidente, sino en virtud de la construcción del sistema decimal) fuertes analogías entre la aritmética de los números ordinarios y la aritmética de los polinomios. El algoritmo de la división es también significtivo para una posterior comprensión de los números reales. (...) Comprender que los números racionales corresponden a decimales repetidos equivale, en esencia, a comprender la estructura de la división decimal en la forma en que queda incorporada en el algoritmo de la división.
Matemáticas para la vida
Debería ser claro que la opinión de los matemáticos es (en nuestro mundo postmoderno) una opinión más entre muchas. (Un matemático --o la sociedad matemática-- es un opinador más entre una multitud de opinadores.) Y, en educación matemática, tienen mano los expertos en Educación Matemática... Posiblemente esa sea la razón de que la Sociedad Matemática Mexicana no exprese su opinión respecto a las reformas educativas en México...
Ahora bien si, como se dice y está de moda, lo que se quiere es aplicar la aritmética a la vida cotidiana, entonces el algoritmo de la división es totalmente ignorable, innecesario aprenderlo, innecesario enseñarlo,... porque cualquier calculadora de 20 pesos da el resultado en décimas de segundo...
¡Extraña paradoja! Al valorar la enseñanza de las matemáticas por sus aplicaciones se llega a la conclusión de que se puede prescindir de ellas --y optar por la tecnología, la cual nos da las respuestas de forma muy económica... en todos los sentidos de la palabra economía. (Y lo único que yo podría agregar aquí es: "se baja el cero... y no contiene".)
Los saluda
jmd
PD: Con tantas opiniones acerca de qué enseñar y qué no (y de cómo y cómo no) el resultado es que ya los profes mejor no enseñan nada que les parezca difícil o que crean que les va a parecer difícil a sus alumnos. (¿División larga? ¡Pero si ni siquiera se saben las tablas de multiplicar! ¡A mí que me esculquen! ¡Yo no se las voy a enseñar! ¡Y menos por el mismo precio!)
PD2: Con la publicación en 2010 del documento denominado Common Core State Standards, el cual ya fue firmado por 40 estados de la unión americana, se esperaba que las Math Wars en USA llegarían a su fin. Pero he aquí la opinión de W. Stephen Wilson (profesor de matematicas de la Johns Hopkins University y miembro del grupo de feedback de los Common Core State Standards):
"¡El final de las math wars! ¡Debes estar bromeando!"
Y enlista una serie de argumentos que empiezan con un "siempre habrá..."
"Siempre habrá gente que piense que debes ser capaz de resolver problemas de diversas maneras. Esto es probablemente similar a pensar que es importante enseñar creatividad en las matemáticas escolares, como si tal cosa fuera posible. Olvídate de la creatividad; el estudiante verdaderamente raro es el que puede resolver problemas de rutina con métodos de rutina.
"Siempre habrá gente que piense que enseñar a los niños a "pensar como un matemático", conozcan o no a un matemático, puede lograrse con independencia del contenido."
Ver toda la entrevista con Education Next en http://educationnext.org/the-common-core-math-standards/