Primera lección: División con resto

El curso en resolución de problemas inició con la sesión del sábado 2 de febrero del presente, en las instalaciones de la UAMCEH-UAT y acudieron 15 alumnos. Yo inicié con el tema de divisibilidad --hasta el receso-- y Ramón lo continuó con proporciones y sistemas de numeración.

Debido a la diversidad de edades y grados (desde cuarto de primaria hasta tercero de secundaria) inicié con tres ejercicios de calentamiento para ver si dominaban la división con residuo. Afortunadamente casi todos los niños los resolvieron y así pude iniciar el tema de divisivilidad.

Relación de divisibilidad

Los ejercicios son los siguientes:

Resolver con el algoritmo de la división (el de la casita):

• a) 2013/3
• b) 2013/11
• c) 671/11

En todas estas divisiones el residuo es cero. Y aquí viene la primera definición:

Relación de divisibilidad en los enteros: Si al dividir un número entero $a$ entre otro $b$ el residuo es cero entonces se dice que $a$ es divisible entre $b$ (o que $a$ es múltiplo de $b$).

Así, 671 es divisible entre 11 (pues, en la división, el cociente es 61 y el residuo es cero). También, en la comprobación, se tiene que 11 veces 61 es igual a 671 y resulta claro que 671 es múltiplo de 11.

Ejercicio: dividir 671 entre 61.

Cuando, en una división, el residuo es positivo (mayor que cero) entonces no existe relación de divisibilidad entre dividendo y divisor. Por ejemplo, en la división 61/7 el cociente es 8 y el residuo es 5; 61 no es divisible entre 7.

Nota: para la ejecución del algoritmo de la división ver mi post sobre la división larga

El algoritmo de la división --visto de otro modo

¿Cuántas veces "cabe" el 7 en el 61?

Para responder a esta pregunta se puede ejecutar el algoritmo de la división. Pero otra forma de responderla es es escribir la sucesión aritmética del 7 (7i, para i=1,2,...): 7,14,21,28,35,42,48,56,63,... y ubicar el 61 entre dos múltiplos consecutivosa del 7. De esta manera,

el 61 queda ubicado entre 56 y 63. Y la respuesta se hace obvia: el 7 cabe 8 veces (el cociente) en el 61 y sobran 5 (el residuo).

Esta forma de ver el algoritmo de la división es muy útil para resolver muchos problemas elementales de divisibilidad. Antes de continuar me gustaría hacer notar

los elementos de un problema de división: un dividendo ($a$), un divisor ($b$) y un residuo ($r$) --y, bueno, también está el cociente ($q$) pero éste no es tan importante en problemas de concurso.

Ahora bien, lo más común en ejercicios en el aula es pedir $q$ y $r$ dados $a$ y $b$. Pero los problemas de concurso son inversos. Por ejemplo, dados $r$ y $b$ encontrar $a$. He aquí el ejercicio que les propuse resolver a los asistentes al taller de resolución de problemas:

Problema inverso: Al multiplicar un número $x$ por 26, el resultado deja residuo 1 al dividirlo entre 3. Encontrarlo.

La solución la obtuvieron por tanteos (dieron varios la respuesta 2). Aunque, estrictamente, la respuesta es $2+3t$ el desempeño de mis alumnos fue muy bueno al obtener el 2 como respuesta --pues ello demuestra que comprendieron la pregunta... y esa respuesta fue el pretexto para enseñarles el

Método de la tabla

Una vez comprendiendo la pregunta no es difícil darse cuenta que el problema se puede modelar mediante la ecuación $26x=3y+1$ (para algunos no es obvio ese modelo pero al explicárselos ya lo ven claro).

Resolvamos, el siguiente problema parecido con el método de la tabla:

resolver en enteros la ecuación $26x=3y+2$.

Solución por el método de la tabla a la ecuación $26x=3y+2$:

x  26x residuo
1  26  2

Bueno, aquí apareció la respuesta de inmediato (para $x=1$ se cumple que el residuo es 2). Pero más que la respuesta el método es el importante. Porque si se continua la tabla se ve que los residuos se repiten en ciclos:

x  26x residuo
1  26  2
2  52  1
3  78  0
4  104 2
5  130 1
...

Entonces, la respuesta debe ser:

$x$ es de la forma $3t+1$

El siguiente problema es más difícil y se deja de tarea:

Al dividir un número entre 5 da resto 3, y al dividirlo entre 7 da resto 2. ¿Cuál es el resto al dividirlo entre 35?

Los saluda
jmd

PD: Resolver también estos dos ya publicados en MaTeTaM: