Teoría de números
Combinaciones lineales, mcd y coprimos.
Una de las primeras propiedades que se presentan cuando aprendemos divisibilidad es la siguiente:
Si $d$ es divisor de $a$ y $b$, entonces $ d | ax + by$ para cualesquiera enteros $x,y$.
A menos que se diga lo contrario, supondremos que estamos usando enteros mayores a cero. La propiedad citada lo que nos dice es que, si $d$ es un divisor común de $a$ y $b$ entonces $d$ es divisor de cualquier combinación lineal de ellos. Hemos hablado de dos conceptos muy importantes de los que se profundizará más.
Actividad de Verano para Preselección Tamaulipas 2016 (Jornada 1)
El día de hoy comenzamos con las actividades para la preparación de la Preselección Tamaulipas 2016 en el receso de verano.
Para esto diseñamos un juego al estilo de las Ligas Fantásticas deportivas que hay para varios deportes. Adjunto el archivo con las reglas del juego.
Cada semana serán equipos distintos, y podríamos ajustar algunas reglas para hacer más interesante la actividad. Semana a semana se irá actualizando el ranking de la puntuación obtenida por cada alumno.
Prepárate para el Estatal con MaTeTaM (Números)
Para mejorar el desempeño de los competidores tamaulipecos en el Estatal, hemos decidido hacer una serie de posts compartiendo lo necesario para competir el 1 de julio. Esta primera entrada va orientada a aritmética o teoría de números, los temas necesarios son:
Sistema Decimal. Este tipo de problemas son ateoricos pues no se necesita saber mucho, son casi de lógica con un poco de combinatoria. No por eso son los más sencillos. Para participar en la olimpiada no necesitas saber más que los demás, si no saber usar lo que sabes.
La dificultad de un problema depende del resolutor
En el presente post voy a presentar la solución de un problema de números que se me hizo realmente difícil y no lo pude resolver sin ayuda. Trato también de trasmitir a los lectores de MaTeTaM el modo de razonar de un experto en el problem solving de concurso. El problema es el siguiente:
Demostrar que, para todo entero no negativo k, $$2^{2^{6k+2}}+3$$ es múltiplo de 19.
Demostración (reconstruida a partir de una realizada por JRV en conversación telefónica con el que esto escribe)
Sobre el problema 3 del selectivo final
El problema y la solución de Germán
Primos y divisibilidad: dos problemas
Voy a comentar en este post las soluciones de los problemas 1 y 2 del primer selectivo para la preselección OMM Tamaulipas 2014. Espero que sirva como feedback para los preseleccionados que no los resolvieron o los resolvieron de otra forma. (Vaya una felicitación para Camilo por su excelente elección de los problemas.)
Problema 1. Sean m,n enteros positivos tales que $m^2+n^2$ es múltiplo de 3. Pruebe que m y n son también múltiplos de 3.
Comentario:
El "fácil" de la XXVII OMM 2013
Como se sabe el fácil del concurso nacional 2013 de la XXVII OMM resultó una sorpresa (por su grado de dificultad) para la mayoría de los concursantes.
En palabras de Germán Puga (el favorito de la selección Tamaulipas) "el problema uno era uno de esos de 'cómo demuestro algo tan fácil' "
Creo que la valoración de Germán es una valoración muy acertada del problema 1 del XXVII concurso nacional de la OMM 2013. Voy enseguida a comentar sobre ese problema para tratar de ubicar cuáles son los puntos o aspectos que lo hacen difícil.
El fácil del concurso XV OMM (2001)
Con motivo del comentario-solución de Germán Puga Castillo al problema 1 del concurso nacional de la OMM 2001 (y el feedback de Jesús Rodríguez Viorato), el problema llamó mi atención por su aparente simplicidad. Voy a comentarlo en este post (y a resolverlo apoyándome en la idea de Germán). El problema es el siguiente:
Encuentra todos los números de 7 dígitos que son múltiplos de 3 y de 7, y cada uno de cuyos dígitos es 3 o 7.
Cuatro problemas elementales de aritmética
En los entrenamientos de la selección ONMAS Tamaulipas 2013 me tocaron 2 sesiones de 3 horas cada una. De ahí elegí 4 problemas de aritmética para presentarlos en este post, en el cual voy a resolverlos y a comentarlos.
A pesar de ser elementales, están lejos de ser triviales. Digo, considerando que fueron para alumnos de primaria y secundaria. (Para el alumno promedio muy probablemente cada uno de ellos es un proyecto de investigación.)
Primera lección: División con resto
El curso en resolución de problemas inició con la sesión del sábado 2 de febrero del presente, en las instalaciones de la UAMCEH-UAT y acudieron 15 alumnos. Yo inicié con el tema de divisibilidad --hasta el receso-- y Ramón lo continuó con proporciones y sistemas de numeración.
Debido a la diversidad de edades y grados (desde cuarto de primaria hasta tercero de secundaria) inicié con tres ejercicios de calentamiento para ver si dominaban la división con residuo. Afortunadamente casi todos los niños los resolvieron y así pude iniciar el tema de divisivilidad.
