Como se sabe el fácil del concurso nacional 2013 de la XXVII OMM resultó una sorpresa (por su grado de dificultad) para la mayoría de los concursantes.
En palabras de Germán Puga (el favorito de la selección Tamaulipas) "el problema uno era uno de esos de 'cómo demuestro algo tan fácil' "
Creo que la valoración de Germán es una valoración muy acertada del problema 1 del XXVII concurso nacional de la OMM 2013. Voy enseguida a comentar sobre ese problema para tratar de ubicar cuáles son los puntos o aspectos que lo hacen difícil.
El problema --y su solución no formal
Se escriben los números primos en orden, $p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, \ldots$. Encuentra todas las parejas de números enteros positivos $a$ y $b$ con $a − b \geq 2$, tales que $p_a −p_b$ divide al número entero $2(a−b)$.
A partir del hecho observable de que dos primos consecutivos (exceptuando el 2 y el 3) están a una distancia de al menos dos unidades, se puede establecer la desigualdad $p_a-p_b\geq 2(a-b)$. Esto es casi obvio y se puede constatar en la sucesión de primos. (Pero en el concurso nacional dicha afirmación debe ser demostrada.)
Por otro lado y de acuerdo a la condición de divisibilidad se tiene la desigualdad $p_a-p_b\leq2(a-b)$. En resumen, $2(a-b)\leq p_a-p_b\leq2(a-b)$. Y se concluye que $p_a-p_b=2(a-b)$.
Y de aquí ya se puede conjeturar que la única pareja que cumple es $(a,b)=(4,2)$ con $p_4=7$ y $p_2=3$
¿Cómo demuestro algo tan fácil? --dice Germán. Y continúa: "resulta dificil dar una justificacion de que es la única pareja que cumple; muchos creyeron resolverlo, pero a la hora de las puntuaciones se dieron cuenta que faltaron varios argumentos."
Veamos pues la parte formal (la que hace que el problema 1 de la XXVII OMM no sea el fácil del concurso).
Un bosquejo --comentado-- de la solución formal
En primer lugar, la observación empírica sobre la distancia entre dos primos consecutivos a partir del 3 conduce a la formalización
$$p_{i+1}\geq p_i+2$$
$$p_{i+2}\geq p_{i+1}+2\geq p_i+4$$
$$\vdots$$
$$p_{i+j}\geq p_i+2j$$
Esto demuestra formalmente que $p_a\geq p_b+2(a-b)$.
En segundo lugar, para demostrar la conjetura de que la única pareja que cumple es la $(4,2)$ se parte de la conclusión $p_a-p_b=2(a-b)$ y se apela a la serie de desigualdades de arriba para decir: ¡Ah! pero entonces todas las desigualdades se cumplen en forma ajustada (es decir, se cumplen con igualdad):
$$p_a-p_{a-1}=2, p_{a-1}-p_{a-2}=2, \ldots p_{b+1}-p_b=2$$
(Comentemos, de paso que esta conclusión solamente está al alcance de la mente entrenada no sólo en lógica sino también en desigualdades.)
Pero falta todavía otro salto inferencial: reconocer en esa serie de igualdades una sucesión aritmética de primos de diferencia 2. Y un "traer a presencia" un hecho conocido: la única sucesión aritmética de primos de diferencia 2 es la 3,5,7.
(O mejor, y para asegurar todos los puntos, recordar el argumento clásico: una sucesión aritmética de diferencia 2 contiene múltiplos de 3 --si tiene más de dos elementos. Entonces, si es de primos, debe ser de longitud 3 y contiene al 3 como su primer elemento.)
Notemos y subrrayemos,para finalizar, las competencias matemáticas involucradas en la resolución completa del problema:
1) Formalizar una observación empírica en términos matemáticos. ($p_{i+1}\geq p_i+2$)
2) Generalizar para llegar a $p_{i+j}\geq p_i+2j$
3) Relacionar lo formalizado con el problema concreto a resolver ($p_a-p_b\geq2(a-b)$
4) Reconocer y aplicar un teorema conocido en el contexto del problema y la argumentación ($x\leq c,x\geq c \Rightarrow x=c$)
5) Hacer las inferencias adecuadas en el contexto del problema (todas las desigualdades se cumplen en forma ajustada)
6) Reconocer a partir de sus propiedades un objeto matemático (...y se reconoce una sucesión aritmética de diferencia 2)
7) Traer a presencia teoremas conocidos (pero la única sucesión aritmética de primos de diferencia 2 es la 3,5,7)
Los saluda
jmd