Ecuación de la recta

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Sean l una recta cualquiera en el plano cartesiano y A=(x1,y1) un punto sobre ella. Como la recta se define a través de su pendiente, se tiene que considerar el caso especial en que la pendiente no está definida por la división entre cero (caso de la recta vértical). Así pues:

Si la recta l es vertical, es decir, paralela al eje y de ordenadas, entonces un punto P=(x,y) en el plano está sobre la recta si y sólo si x=x1. Por consecuencia, la ecuación x=x1 describe algebraicamente la recta vertical que pasa por el punto A=(x1,y1) y se dice que es su ecuación. En resumen, si la recta l es vertical y pasa por el punto A=(x1,y1), entonces su ecuación es x=x1.
 
Por otro lado, si la recta l no es vertical, entonces tiene una pendiente m. En ese caso, un punto P=(x,y) diferente de A=x1,y1) está sobre la recta l si y sólo si la pendiente de AP es m, es decir, si y sólo si m=yy1xx1 o sea yy1=m(xx1).
 
Como la ecuación yy1=m(xx1) también se satisface con las coordenadas del punto A=(x1,y1), entonces se satisface por todos los puntos de la recta l. Por tanto, la ecuación yy1=m(xx1) describe algebraicamente la recta l no vertical con pendiente m y que pasa por A=(x1,y1)  y se dice que es su ecuación.
 
En resumen, la ecuación de la recta l con pendiente m y que pasa por A=(x1,y1) es yy1=m(xx1).
Resumen de la ecuación de la recta: Si l es vertical y pasa por (x1,y1), entonces su ecuación es x=x1
De otra manera, si l tiene pendiente m y pasa por (x1,y1), entonces su ecuación es yy1=m(xx1)

Relaciones entre dos rectas:rectas paralelas y no paralelas

Dadas dos rectas en el plano, puede suceder que se trate de la misma recta (en cuyo caso se dice que coinciden) o bien son rectas distintas. Si son distintas entonces o bien se cortan en un único punto P o bien no se cortan (en cuyo caso se dice que son paralelas).
 
Si dos rectas se cortan entonces el punto en que se cortan (llamado punto de intersección) está en ambas rectas. Desde el punto de vista de la geometría analítica, el punto de intersección satisface las ecuaciones de ambas rectas. Para encontrarlo basta resolver el sistema de ecuaciones formado por las dos rectas.
 
De acuerdo a lo dicho arriba, al resolver el sistema de ecuaciones se puede esperar que el sistema tenga una solución o bien no tenga ninguna (en cuyo caso las rectas son paralelas). Si el sistema tiene una solución, entonces o bien la solución es única (y hemos encontrado el punto de intesección de las dos rectas) o bien no es única (en cuyo caso las rectas coinciden)--cada punto que satisface una de ellas, satisface también a la otra. 
 

Rectas perpendiculares

Un caso especial de rectas no paralelas (muy importante para el problem solving en geometría analítica) son las rectas perpendiculares, es decir, que se cortan en ángulo recto. Vamos enseguida a discutir una relación clave entre las pendientes de dos rectas perpendiculares. 
 
Sean l1 y l2 dos rectas perpendiculares con pendientes m1 y m2, respectivamente, y consideremos las rectas l1 y l2 paralelas, respectivamente,  a l1 y l2 pero pasando por el origen. Entonces, las ecuaciones de l1 y l2 son
 
y=m1x
y=m2x
 
Debería ser claro que P=(1,m1) pertenece a l1 y Q=(1,m2) pertenece a l2. Y como, por hipótesis, l1 y l2 son perpendiculares, entonces tenemos un triángulo OPQ rectángulo en el origen O y podemos aplicar Pitágoras:
 
-d2(O,P)+d2(O,Q)=d2(P,Q)
1+m21+1+m22=(11)2+(m2m1)2
m1m2=1
 
Recíprocamente, si las pendientes de las dos rectas cumplen la condición de ser recíprocas y de signos contrarios entonces, transladando las rectas al origen y definiendo P y Q como antes, las transformaciones algebraicas se pueden revertir y se llega a que el triángulo OPQ cumple el teorema de Pitágoras, es decir, las rectas son perpendiculares.
 
En resumen, dos rectas de pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y sólo si m1m2=1, es decir si y sólo si sus pendientes son recíprocas y de signo contrario.

Lugares geométricos

Cuando enunciamos una proposición p sobre las condiciones (propiedades) que un conjunto de puntos debe cumplir (satisfacer), estamos definiendo un lugar geométrico. En otras palabras, un lugar geométrico en el plano es el conjunto de puntos que satisfacen una o más condiciones. Ejemplo: el conjunto de puntos en el plano a una distancia r de un punto fijo O. Otra forma de ver el lugar geométrico es como la trayectoria que describe un punto en el plano que se mueve cumpliendo una condición dada.
 
La recta se puede ver como un lugar geométrico: la recta de pendiente m por el punto A=(x1,y1), es el lugar geométrico de los puntos P=(x,y2) tales que la pendiente del segmento AP es m. (De nuevo, el caso de la recta vertical debe considerarse aparte.) 
 
Uno de los lugares geométricos más conocidos y útiles para el problem solving es la circunferencia.
 
La circunferencia es el conjunto de puntos que están a una distancia r (el radio) de un punto fijo C (el centro). 
La ecuación de la circunferencia es fácil de deducir a partir de esta definición (aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos).
 
Si C=(h,k) entonces la ecuación de la circunferencia de centro C y radio r es: (xh)2+(yk)2=r2

Dos problemas ilustrativos 

Problema 1: Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos de una circunferencia y P un punto sobre ella distinto de A y de B. Demostrar que AP y BP son perpendiculares.
 
Solución
 
Uno de los detalles finos del uso de la geometría analítica para demostrar teoremas geométricos es la elección de los ejes. Tomemos, en este caso, al diámetro AB=2r como eje x y al centro C de la circunferencia como origen de coordenadas. Tenemos que demostrar que las pendientes de AP y BP son recíprocas y de signo contrario.
 
De acuerdo a la elección de los ejes, A=(r,0),B=(r,0). Sea entonces P=(x,y) sobre la circunferencia. En consecuencia, la pendiente de AP es m1=y0x+r y la de BP es m2=y0xr. De aquí que su producto sea:
y2x2r2=1  (pues, al estar P=(x,y) sobre la circunferencia, satisface su ecuación, es decir, y2=r2x2).
 
Problema 2: Las alturas del triángulo concurren
 
Solución
 
Tomemos el lado AB como eje x y al pie de la perpendicular a AB bajada desde C como origen de coordenadas. Sean entonces A=(a,0),B=(b,0),C(0,c). La ecuación de la recta AC es entonces ycx=ycx=ca y la de BC es ycx=ab.
 
De aquí que las alturas desde AC y BC, respectivamente, tengan ecuaciones ac=yxb y bc=yx+a y se comprueba fácilmente que ambas alturas se cortan sobre el eje y (en la ordenada abc). Pero el eje y es la tercera altura. En consecuencia, las tres concurren.
 
Los saluda
jmd
 
Ver también: 
Pendiente de una recta
Ver también: 
Teorema de Pitágoras