La computadora, se ha dicho, es una solución en busca de problemas. Y en la enseñanza de las matemáticas se postuló, desde la aparición de esa herramienta maravillosa, que la PC (y, antes de ella, las calculadoras) podría ser la solución a las dificultades que los estudiantes enfrentan al aprender esa "ciencia incomprensible" (la etiqueta es espuria, pero de aceptación universal) denominada álgebra .
Y bajo esa hipótesis los investigadores de la educación matemática tienen varias décadas buscando los problemas de aprendizaje del álgebra que los sistemas computacionales algebraicos (CAS, por sus siglas en inglés) podrían quizá resolver. Como ejemplos de herramientas tecnológicas digitales que se han usado en la enseñanza de las matemáticas están la calculadora programable de la Texas Instruments (que mantienen su vigencia en ciertos círculos educativos), el EXCEL, el CABRI, el Geogebra.
Más allá del uso ingenuo y ateórico del software educativo están los franceses
Uno de los enfoques teóricos de moda --denominado el TTT o Tarea, Técnica, Teoría-- ha sido desarrollado por la escuela francesa de investigación en enseñanza de las matemáticas cuyos personajes representativos (o, por lo menos, más visibles) son Michèle Artigue y Jean-Baptiste Lagrange.
El enfoque TTT parte de la pregunta epistemológica clave (¿cómo se llega a conocer?) ya modificada o matizada al caso específico de conocer con la ayuda de artefactos (¿cuál es el papel del artefacto en la adquisición del conocimiento?) y queda concretada en conocimiento algebraico con la ayuda del artefacto sistema de software: ¿cómo se llega a aprender álgebra con un CAS?
En la teorización socio-psicológica sobre el desarrollo de sistemas conceptuales, la línea que pone el artefacto en el centro tiene raíces antropológicas y considera al artefacto (la herramienta, digamos el ábaco) como una mediación entre el usuario y el conocimiento que el artefacto tiene incorporado --dado que fue construido por humanos con una finalidad específica. De esta manera, el artefacto está inmerso en una cultura (de la cual participa el usuario), pero también requiere de éste un esfuerzo cognitivo para lograr un uso eficaz.
Dialéctica usuario-artefacto
Y la forma natural de ver el par usuario-artefacto es en la forma en que uno ve al jinete (usuario de un caballo), o al operador de una retroexcavadora ("mano de chango"): en cierto momento (cuando se logra el uso experto) usuario y artefacto quedan integrados en una sola entidad. Y si bien, el caballo y la maquinaria ligera de construcción solamente potencian, respectivamente, la velocidad y la fuerza física del usuario, otros artefactos --como posiblemente un sistema de software- potencian las diferentes funciones de la mente humana.
Un sistema algebraico computacional puede potenciar la mente del usuario de diversas formas (aparte de que el CAS haga los tediosos cálculos): 1) como un tutor inteligente, 2) como ayuda visual e interpretativa de los resultados obtenidos, 3) como un medio ambiente para experimentar y explorar posibilidades.
Y de la misma manera que uno aprende y conoce una ciudad de maneras distintas dependiendo de si es usuario obligado del transporte público o si uno la ha recorrido siempre en automóvil, el aprendiz del álgebra verá las gráficas de una función, por ejemplo, de manera diferente si las aprendió dibujando con papel y lápiz que si siempre las ha hecho con un sistema de software.
En otras palabras, el artefacto impone sobre el usuario ciertas reglas de uso que dan forma o modelan sus esquemas mentales acerca de sus posibilidades de uso. Piense el lector, por ejemplo, en el cut and paste y el drag and drop, dos posibilidades de uso del software de diseño y los procesadores de palabras: mientras que el primero era de uso común en la edición profesional antes del Windows, el segundo se inventó con los primeros procesadores de palabras denominados WYSIWYG.
Por otro lado, el usuario también impone sobre el artefacto sus propios usos y costumbres; y los usos no previstos pueden dominar: el copy and paste se ha popularizado demasiado entre los estudiantes actuales gracias a que les ahorra el trabajo de la lectura crítica del ensayo asignado como tarea (con el copy and paste hasta un IQ de 70 saca una licenciatura en sociología --gracias al cómodo disimulo de los administradores).
Así pues, uno de los problemas investigados por el enfoque TTT es la forma en que un CAS impone condiciones sobre su uso a los aprendices del álgebra y da forma a los modos en que estos aprenden con su ayuda. Específicamente, la pregunta de Lagrange es: ¿De qué manera la utilización de tecnología modifica el acceso de los alumnos a los conceptos? ¿Qué nuevas relaciones existen entre la comprensión de los conceptos y la parte más técnica del trabajo matemático?
Pero Lagrange no comparte el desmedido entusiasmo de la corriente principal de los CAS:
"Esos nuevos artefactos abren ciertamente estimulantes perspectivas. Pero no deberíamos simplemente ver en ellos una milagrosa solución a las dificultades de la enseñanza, sino que deberíamos iniciar una reflexión a profundidad sobre su uso educacional en relación a la evolución más amplia de las matemáticas."
(Transposing computer tools from the mathematical sciences into teaching: Some possible obstacles. --Capítulo 3 del libro The Didactical Challenge of Symbolic Calculators: Turning a Computational Device into a Mathematical Instrument, editado por Dominique Guin, Kenneth Ruthven and Luc Trouche)
El procedimiento es primero (¿o debería ser al revés?)
Jean-Baptiste Lagrange se ha encargado de hacer esa reflexión a partir de sus investigaciones reportadas en sus publicaciones y ha demostrado, entre otras cosas, que "un concepto no existe sin sus técnicas asociadas." Esta tesis de Lagrange tiene como telón de fondo el antiguo debate (los franceses le llamarían dialéctica o tensión) entre sintáctica y semántica (en el aprendizaje de cualquier lenguaje), entre las habilidades manipulativas (procedimentales, algorítmicas, le llamarían otros) y la comprensión conceptual. (Ver mi post sobre las teorías de encapsulación.)
Es decir, puesto en forma de pregunta, ¿debería enseñarse-aprenderse primero la sintaxis para llegar después al significado, a la semántica, o debería ser al revés? ¿es posible llegar al álgebra por la vía corta de la comprensión conceptual y olvidarse de los procedimientos y los tediosos cálculos? La respuesta de Lagrange es --a la manera de Euclides-- que no existe la vía corta para llegar al álgebra --incluso con tecnología digital.
Por ejemplo, al graficar una función cuadrática, sus raíces se "leen" en ella focalizando los puntos en que cruza (si es que cruza) el eje x (y si no lo cruza se concluye que no tiene raíces reales). Pero esta lectura no es algo natural o espontaneo para el aprendiz, sino que es producto de un entrenamiento.
Lo que se tiene aquí es la relación entre dos representaciones (la algebraica y la gráfica) de un mismo objeto matemático (la función cuadrática). Pero, desafortunadamente para los aprendices, la facilidad con que se le puede pedir (con un comando muy simple) al software --por ejemplo, al Geogebra-- que realice la gráfica de la función puede llevar a pensar que el software es totalmente transparente para todos. Pero es opaco. Se hace transparente con el uso y la lectura del manual (el help), no necesariamente en ese orden.
La moraleja es que el profesor tampoco puede irse por la vía corta de dejar a los alumnos trabajando con el sotware, sino que está obligado --como lo estaba antes de la tecnología, pero posiblemente más con ella-- a diseñar actividades para familiarizar al aprendiz con las interpretaciones correctas de las gráficas y expresiones matemáticas. Y estas tareas extras para el profesor podrían llegar a desanimarlo sobre el uso de un CAS --podría ser una resistencia cultural al uso de la tecnología digital en el aula. Lagrange lo dice de esta manera: "el kernel cultural tradicional que soporta el curriculum es resistente (a la enseñanza con tecnología)"
Los saluda
jmd
PD: más sobre Artigue después