ONMAS Tamaulipas 2013: los problemas y algunas soluciones

En este post voy a presentar los problemas del concurso ONMAS Tamaulipas 2013 y a comentar algunos de ellos. 

Los problemas

Concurso Estatal ONMAS Tamaulipas 2013; UAMCEH-UAT, Cd. Victoria, 19 de abril (Cada problema 7 puntos, no se permiten calculadoras ni celulares. Duración: 4 hrs

1N. Encontrar todos los enteros positivos n tales que 3n+4 es múltiplo de 5.

2N. Un número se dice que es capicúa si al leerlo al revés el número no cambia. Por ejemplo, 31213 es capicúa. Encontrar todos los capicuas de tres cifras múltiplos de 15.

3G. El triángulo ABC es isósceles con AB=AC y su ángulo en A mide 140 grados. Un punto O en la base BC es tal que BO=BA. Calcular la medida del ángulo OAC.

4G. En el triángulo ABC, X es el punto medio de AB, Y es el punto medio de AC y Z es el punto medio de AX. Calcular el área del triángulo ABY si se sabe que el área del triángulo YZB es 21 unidades cuadradas.

5A. Para dos números positivos x, y se definen las medias aritmética A, geométrica G y armónica H mediante las fórmulas $$A=(x+y)/2, G^2 =xy, 2/H=1/x+1/y$$. Demostrar que $G^2=AH$.

6A. Encontrar tres múltiplos consecutivos de 11 cuya suma sea 2013.

7C. Las fichas de un juego de dominó contiene todas las combinaciones posibles desde el doble cero hasta el doble 8. ¿Cuántas fichas tiene el juego?

8A. Un número de dos cifras es igual al doble producto de sus cifras. ¿Cuál es?

9A. El abuelo reparte 450 pesos entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años. Pero los reparte proporcionalmente a sus edades. Si el mayor recibe 200 pesos ¿cuánto recibe el menor?

10C. ¿Cuántas diagonales tiene un octágono?
 

Comentarios

Un participante preguntó ¿por qué es el mismo examen para primaria y secundaria? La pregunta es retórica y conlleva una tacha para los organizadores (la expectativa sería quizá que cada categoría tuviera su examen). Así y todo voy a responderla demostrando que al menos tres problemas están al alcance de un alumno de primaria. (Y de esta manera, se demostraría que el examen es un instrumento válido. Por otro lado, los puntajes de los dos seleccionados de primaria hablan por sí solos.)

Problemas 9 y 10

El problema 9 es de reparto proporcional y este tema sí se aborda en primaria. (Si ya no se enseña, la culpa no es nuestra sino del sistema educativo mexicano.)

La solución de secundaria o de prepa sería plantear la proporción 200/16=x/8 y resolver. Pero esa modelación no es necesaria pues la regla de tres sí se sigue enseñando o bien se resuelve usando un razonamiento lineal como "el menor tiene la mitad de los años del mayor; por tanto recibe la mitad" (y este razonamiento es casi natural... eso creo).

En el problema 10, la solución teórica sería como sigue: "Dos vértices definen una diagonal o un lado, por tanto la respuesta es el número de pares de vértices menos 8". (Y el número de pares de vértices es $C(8,2)=8\cdot 7/2=28$).

Pero este abordaje teórico no es necesario. Se puede dibujar el octágono (si el alumno sabe lo que es), trazar las diagonales (con mucha paciencia...si se sabe lo que es una diagonal) y contar cuántas son. ¿Es de primaria si o no?

El problema 8

De acuerdo a las preguntas de los participantes, el verdadero problema aquí es el español (una gran cantidad de participantes no entendieron la frase "doble producto de sus cifras"). 

Yo realmente lo siento pero, una vez superado el obstáculo del idioma, la solución directa es hacer la lista de los números del 10 al 99, verificar y localizar el que cumple. ¿Es de primaria si o no? (¿Es mucho pedir elaborar una lista de numeros?)

La solución teórica requiere algo de álgebra y es más difícil: $10a+b=2ab$. Con este modelo se puede dar valores a una de las literales hasta encontrar el número. 

Más sofisticado sería observar que la ecuación es equivalente a $b=2a(b-5)$ y deducir que $b$ tiene que ser par (es el doble de otro) y mayor que 5 (los dígitos o cifras no son negativos), con lo cual el espacio de soluciones se reduce drásticamente. Probando con $b=6$ se tendría $6=2a$, de donde $a=3$. Continuando con el 8 y ver que no hay solución para ese caso se concluye que el número buscado es 36.

Los problemas 1 y 2

En el problema 1, el abordaje ateórico es aritmético (bueno, hay que saberse las tablas pero... ¿no me digan que ya no se exige a los niños que se las aprendan?). 

Primero habría que saber que los múltiplos de 5 terminan en cero o 5 (obviamente también hay que saber el significado de múltiplo... creo que ya me estoy sintiendo culpable por exigir tantos conocimientos a unos niños...).

Después habría que razonar que, para que $3n+4$ sea múltiplo de 5, $3n$ debe terminar en 1 o en 6. Etc. La conclusión es que los números buscados son los que terminan en 2 o en 7.

Claramente, otra posibilidad ateórica es hacer la tabla con columnas n, 3n y 3n+4 para los valores 1,2,3, etc de $n$, En cierto momento debe verse el patrón del 2 y el 7...

Creo que una redacción más fácil del enunciado sería: "para cuáles números, al sumarle 4 a su triplo, el resultado es múltiplo de 5?" Con ello se evitaría ser tan precisos con "enteros positivos" y usar la expresión  $3n+4$.

De nuevo aquí el verdadero problema es el lenguaje... aunque posiblemente "triplo" sea también muy alienígena para un niño de primaria (y de secundaria). 

El caso es que, una vez superada la dificultad del lenguaje, el problema es elemental.

En el problema de los capicúas (el 2), quizá la dificultad principal es que la definición de capicúa está en el enunciado. (Algo quizá inesperado para un niño de primaria.)  Pero una vez superando esa dificultad, el problema lo puede resolver un niño de cuarto. 

(El razonamiento natural es instructivo: tiene que terminar en 5 (en 0 no es posible porque ningún número inicia con 0). Por tanto los números buscados son de la forma 5__5. Y, bueno aquí se pueden enlistar todos los múltiplos de 15 de tres cifras que inician con un cinco --o bien aplicar el criterio del 3-- para concluir que la respuesta es 525, 555, 585.

Más comentarios después...

Los saluda

jmd

PD: Al observar los puntajes de los primeros 40 participantes (al menos 14 puntos, equivalentes a dos problemas correctos), uno puede mantener cierto optimismo sobre la educación mexicana y exclamar ¡no todo está perdido! ¡Ánimoooooo!