El problema
Sea $ABC$ un triángulo y sea $H$ su ortocentro. Sea $PQ$ un segmento que pasa por $H$ con $P$ en $AB$, $Q$ en $AC$ y tal que $\angle PHB=\angle CHQ$. Finalmente en el ciruncírculo del triángulo $ABC$ considera $M$ el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$. Muestra que $MP=MQ$.
La solución
De acuerdo a los datos sobre la recta PQ que pasa por H, es fácil darse cuenta que PQ es bisectriz de los ángulos formados en H por las alturas.
Por otro lado, por una propiedad bien conocida del ortocentro (los reflejos de H en los lados del triángulo pertenecen a su circuncírculo), BP es bisectriz del ángulo HBP' y CQ es bisectriz del ángulo Q'CH.
Pero entonces A es punto medio del arco P'Q' (basta observar una de las mitades desde C y luego desde B para percatarnos de ello).
Finalmente, sean B' y C' los pies de las alturas desde B y C, respectivamente. Si vemos el triángulo rectángulo BB'A es fácil ver que el ángulo B'BA es complementario del ángulo A. Si ahora focalizamos el triángulo BHC' se hace evidente que el ángulo C'HB mide lo mismo que el A. Se sigue que los ángulos en la base del isósceles P'HP miden A/2. (De manera similar, los ángulos en la base del isósceles Q'HQ miden A/2.)
Se concluye que P'M pasa por P y Q'M pasa por Q. Así que MA es bisectriz del ángulo QMP. Pero entonces los triángulos APM y AQM son reflejo uno del otro en el espejo de AM. En particular, MP=MQ. Como se quería.
Los comentarios
1. Si alguna dificultad tiene este problema es la de redactar la solución. Los descubrimientos de una exploración previa se suceden unos a otros y queda la sensación de que es muy fácil. Pero esos descubrimentos interactúan unos con otros y todos contribuyen a la conclusión final. La dificultad radica en verbalizar esas inferencias en un discurso coherente.
2. Los conceptos utilizados en la solución son elementales. Y, sin embargo, requieren que hayan sido trabajados en el uso, es decir, en la resolución de otros problemas.
3. Como comenté en un post anterior (sobre el ortocentro reflejado), la propiedad del ortocentro a que se apela en la solución arriba expuesta no es tan conocida. Peo seguramente todo aficionado al problem solving de concurso la conoce.
Los saluda
jmd