Prototipos, ejemplos generales y categorización

Voy a elaborar en este post sobre un tema que atrajo mi atención hace algunos meses y que en estos días volví a estudiar. Es el tema de los prototipos --y su utilidad en la educación matemática.

¿Definir o no definir?

Si bien es cierto que las matemáticas escolares o, mejor dicho, la didáctica de las matemáticas escolares, rehuyen las definiciones, también lo es que en los cursos universitarios de matemáticas, y ciertamente en las matemáticas de concurso, las definiciones formales son imposibles de evitar (bueno, si es que realmente se quiere enseñar y aprender matemáticas y entrenar y ganar concursos).

Se puede apreciar entonces una tensión, una dialéctica, entre dos fuerzas opuestas: matemáticas para todos y matemáticas. Los administradores de la educación (desde los decisores de la SEP hasta los directores de escuela, pasando por sus asesores) dirían: "tenemos el compromiso con la sociedad de que todos aprendan matemáticas". Una aspiración encomiable que se traduce en la práctica a "bájale el nivel".

Por otro lado, la comunidad matemática en las universidades --y ciertamente en las olimpiadas de matemáticas-- exige un nivel de razonamiento y madurez matemática que no hace concesiones. ("Estamos de acuerdo en que encontró la solución, pero no lo demuestra --por eso le estamos dando los dos puntos de los 7")

Andamios: que le haga sentido --para que redescubra

Ahora bien, desde el punto de vista del aprendizaje de conceptos, la didáctica de las matemáticas normativa (y no la realmente existente) recomienda proporcionar al aprendiz los andamios necesarios para que éste construya el significado de los conceptos y la experticia en las técnicas.

Unos andamios que tomen en cuenta lo que el aprendiz ya sabe (de sus cursos anteriores y sus experiencias de la vida cotidiana) --con la idea de que los nuevos conceptos "le hagan sentido".

Pero los andamios son estructuras destinadas a desaparecer una vez que la labor de construcción quede concluida --la didáctica es una ayuda en retirada (como la escalera de Wittgenstein ).

No obstante, la promesa de la educación para todos (de mantener el andamio de manera permanente) hace que el alumno se convierta en un "atenido" y un irresponsable. Ni bueno ni malo, es solamente un hecho de la vida mexicana.

"Lo que el aprendiz ya sabe" se ha interpretado como "lo que ya sabe de la vida cotidiana" (y no lo que debería saber de sus cursos anteriores). Pero las matemáticas de la vida cotidiana solamente llegan hasta la aritmética --con algunas excepciones. (Por ejemplo, las preguntas del examen PISA  --a las que dedicaré un post en el futuro).

Y por más que se le ha buscado, las actividades didácticas en las matemáticas escolares acompañadas de un contexto "realista" no han logrado motivar a los escolares adolescentes (ni han logrado superar en cuanto a interés a los problemas razonados clásicos). 

Pero, a pesar de ese evidente fracaso, los expertos en educación matemática siguen prometiendo "un camino real" para llegar a las matemáticas --se entiende que sin pasar por las definiciones formales y usando solamente el sentido común.

Sobre la cuestión de la conceptualización en matemáticas

En un post anterior (El aspecto visual de las matemáticas)  he hablado de la teoría de prototipos y el concepto de aires de familia como dos formas de ver o de entender la formación y el uso de conceptos. Dos ideas muy útiles a la hora de categorizar objetos en una primera aproximación. Sin embargo, después de la primera aproximación hay que pasar a la segunda y a la tercera, etc.

Pues, contrastando con la categorización matemática, la forma de categorizar en contextos de la vida diaria de nuestro acontecer humano no se preocupa mucho por las precisiones. Y ello obliga a que, en cierto momento que no debería posponerse innecesariamente, hay que pasar a las definiciones formales. En cierto momento, el juego debe terminar para dar lugar al inicio del aprendizaje.

Pues en las matemáticas que van más allá del bachillerato (y ciertamente en las de concurso) es necesario formalizar un poco --o un mucho. (Se podría decir, "tanto como aguante el aprendiz".)

Al pasar a las definiciones formales el juego se acaba, pues éstas imponen una estructura más rígida sobre el discurso argumentativo --en cursos en que las demostraciones y el razonamiento deductivo son centrales. Es así que el adolescente interesado en las matemáticas está obligado a "educar" su razonamiento de sentido común, pasando al razonamiento científico de formulación de hipótesis y demostraciones.

En una demostración --y en el problem solving de concurso-- el cognizador debe cumplir con ciertas normas de aceptabilidad de su discurso matemático. En particular, debe aprender a expresar su razonamiento en términos de las definiciones (generalmente de categorías formales o clases de objetos, i.e., conjuntos, por ejemplo, cuadriláteros).

Lo que propongo no es el abandono del sentido común apoyado en prototipos, sino el adoptar una regla que me parece útil en el problem solving y que incorpora la dialéctica entre el razonamiento intuitivo y de sentido común y el razonamiento formal exigido en las matemáticas: "usa los prototipos... pero desconfía de ellos."

Ejemplos de prototipos en matemáticas

El prototipo de una clase es el ejemplo que "mejor" la representa (en un sentido subjetivo). Con lo que tienen de subjetividad, enseguida algunos ejemplos:

Categoría: sistemas de representación numérica.
Prototipo: sistema decimal
Nota: esto en el contexto usual; pero en el contexto computacional es el sistema binario.

Categoría: números impares.
Prototipo: 3
Nota: podría ser otro como el 1 o el 7, pero ciertamente nunca se piensa en un número impar grande como el 123.

Categoría: triángulos 30-60-90.
Protototipo: la mitad de un equilátero de lado 2.

Categoría: triángulos isósceles rectángulos.
Prototipo: la mitad de un cuadrado de lado 1.

Categoría: problemas combinatorios.
Prototipo: $C(n,k)$

Categoría: teoremas geométricos.
Prototipo: Pitágoras.
Nota: o el que a uno más le guste, más recuerde, etc.

Categoría: conjunto de cardinalidad 5.
Prototipo: los dedos de la mano.

La utilidad de un prototipo es que aporta un punto de referencia, a partir del cual se puede reconstruir toda una clase.

Un ejemplo de definición formal --y sus consecuencias

Tomemos como ejemplo de categoría formal el caso del cuadrilátero denominado rombo. (El rombo es toda una clase de cuadriláteros.) Desde un punto de vista formal, el rombo se define como "paralelogramo con todos sus lados iguales".

Notemos que, para el escuelante no hay otra forma de categorizar o conceptualizar el rombo más que a partir de su definición (y de las figuras que lo representan en su libro de texto y las del profesor). De manera que el rombo es una categoría, una clase de objetos geométricos que difícilmente se puede construir a partir de ejemplos.

Notemos también que la figura usual en los libros de texto es como la anterior, viene en la forma de un estereotipo. Se percibe como un cuadrado aplanado y, a diferencia del cuadrado estereotipado, el rombo suele presentarse con sus vértices apuntando a los cuatro puntos cardinales.

El concepto de rombo se puede afinar (pulir, por decirlo así) en la mente del aprendiz a partir de actividades problémicas propuestas por el profesor o el libro de texto... si es que hay tiempo. Imaginemos las siguientes tres actividades o tareas:

Tarea 1: Demuestra que las diagonales del rombo son perpendiculares.

Tarea 2: De entre las siguientes proposiciones elige correcta (y justifica tu respuesta al final):

1. Si un cuadrilátero tiene sus diagonales perpendiculares entonces es rombo.
2. Un cuadrilátero es rombo si y sólo si sus diagonales son perpendiculares.
3. Si un cuadrilátero es rombo entonces sus diagonales son perpendiculares.
4. Ninguna de las anteriores proposiciones es correcta.

Tarea 3: Demuestra que las diagonales del rombo son bisectrices de sus ángulos.

Comentarios y soluciones después

Los saluda
jmd