El concepto de encapsulación en la investigación científica de la enseñanza de las matemáticas está inspirado en las ideas de Piaget sobre el desarrollo cognitivo del niño. De ahí que las teorías de encapsulación vean el desarrollo cognitivo a través de 1) acciones sobre objetos existentes, las cuales 2) se interiorizan en procesos, para después 3) ser encapsulados como objetos mentales.
De acuerdo con Pegg y Tall son tres las teorías contemporáneas de la encapsulación proceso-objeto:
- la teoría de Dubinsky denominada APOS (acción, proceso, objeto, esquema)
- la teoría de Sfard denominada interiorización-condensación-reificación, o bien la matemática operacional.
- la teoría de Gray and Tall referida como la teoría de proceptos (contracción de procedimiento y concepto).
Las primeras dos están basadas en experiencias de razonamiento matemático avanzado (finales del bachillerato hasta la universidad) y, en consecuencia, enfatizan el desarrollo cognitivo formal (la siguiente etapa después del razonamiento concreto). La teoría del procepto, en cambio, es más apropiada para la etapa de transición de la aritmética al álgebra, y enfatiza la iniciación a la comprensión y manipulación de símbolos. La siguiente tabla-resumen la tomo del paper de Pegg y Tall:
La teoría del procepto ha encontrado que las dificultades de aprendizaje del álgebra dependen de los conocimientos previos (y experiencias) del aprendiz. (De ahí que sean muy disparejas de un alumno a otro.) Por ejemplo, al pasar de las operaciones con enteros a las de fracciones, el aprendiz está obligado a construir su concepto de fracción (y su construcción no es fácil). Y al llegar al álgebra, los símbolos tienen que ser reinterpretados: el signo + en 2+3x es sólo potencialmente operacional (la adición debe mantenerse en suspenso en tanto no se conozca la x --algo que la mayoría simplemente no puede hacer). En el cálculo, hay procesos de adición potencialmente infinitos y el estudiante tiene que construir para si el concepto de límite.
El ejemplo clásico de procepto es el de número: inicialmente se aprende a contar (un procedimiento, una acción); después el niño se da cuenta que da el mismo resultado el conteo en diferente orden (conservación del número); de ahí pasa a la concepción del número como la cantidad de elementos, pero también como resultado de contarlos. Es decir, asimila y acepta una interpretación dual. El término número pasa a ser un procepto.
Los saluda
jmd