Voy a ilustrar en este post la multiplicidad de conexiones que un cognizador debería establecer con una teoría previa en el momento de resolver (o estudiar la solución a) un problema de matemáticas escolares. Sostengo que la forma condensada de presentar las soluciones es una forma reticente de comunicar --así sea de manera involuntaria o por razones de estilo de redacción.
La comunicación reticente en matemáticas escolares
Una característica de cierto modo de comunicar a la que me he referido varias veces en este blog es la reticencia (dejar al interlocutor la responsabilidad de construir el significado de lo que se calla). Y en la didáctica de las matemáticas este modo de comunicar (de enseñar matemáticas) se ha incorporado en la didáctica de Guy Brousseau y se llama situación didáctica.
En una situación didáctica, el profesor le plantea a sus alumnos un problema a través de una consigna. Y el alumno trata de resolverlo con el bagaje herramental a su alcance.
Pero el problema tiene una característica muy peculiar: es imposible que el alumno no vea el error cuando éste ocurre (y esta característica es también la razón de que el método no haya tenido éxito, pues el diseño de ese dispositivo de control del error es realmente difícil). Un ejemplo ya clásico de una situación didáctica es el Rompecabezas de Brousseau
Una de las razones que justifican la comunicación reticente (una comunicación que calla) es la paradoja del contrato didáctico:
Entre más dependa el alumno de las explicaciones del profesor, menos necesidad tendrá de poner a funcionar sus capacidades intelectuales --y el resultado es la atrofia cognitiva.
En el sentido tradicional de "enseñar", el profesor debería comunicar "de manera clara y transparente" las soluciones y las respuestas. En este sentido la paradoja del contrato podría plantearse así: "entre más les enseñas, menos aprenden". Según esta perspectiva de la enseñanza de las matemáticas, el profesor debe abstenerse de resolverle al alumno el problema, debe abstenerse de hacerle la tarea.
La solución como pista de una comprensión más plena
Pero sucede que una solución condensada (como las de los libros de matemáticas y como las de MaTeTaM) es en sí misma un problema de interpretación y de integración de conceptos. Representa una comunicación reticente.
Una solución condensada de un problema hay que verla como un producto terminado que alguién diseñó y redactó. Conviene verla entonces desde la perspectiva de la ingeniería inversa: analizarla con miras conocer (aprender) cómo fue generada y por qué funciona.
La reticencia comunicativa en MaTeTaM es involuntaria la mayoría de las veces, debido a razones estilísticas de redacción. Otras veces, se da por supuesto que se conoce un resultado (teorema o definición).
Por ejemplo, nunca se entra a explicar en qué consiste o como se demuestra el Teorema de Pitágoras (se presupone que el lector lo conoce) o no se dan las razones para justificar una afirmación ("claramente los triángulos son congruentes") por razones de estilo de redacción.
En todo caso, se entiende que quien tiene que hacer los links necesarios (y adecuados) es el lector, al interactuar con los contenidos de MaTeTaM --aunque podríamos poner la liga hipertextual (una petición recurrente de los lectores de MaTeTaM), no lo hemos hecho por cuestiones de tiempo.
La solución como sugerencia
Voy a presentar enseguida la solución al problema, recién publicado en MaTeTaM, denominado antiparalelas, como una forma de ilustrar la multiplicidad de conexiones que unas propiedades muy simples de las antiparalelas tienen con los conceptos elementales de la geometría euclidiana.
Definición de antiparalelas: Dos rectas se dicen antiparalelas, respecto a un ángulo de referencia, si forman el mismo ángulo en lados opuestos de la bisectriz del ángulo de referencia.
Nota: Las antiparalelas pueden estar una en un lado del vértice del ángulo y la otra en el otro, o bien una de ellas puede pasar por el vértice.
Proposición (a): Dos rectas $PQ$ y $BC$ son antiparalelas, respecto al ángulo $BAC$, si y sólo si el ángulo formado por una de ellas con un lado del ángulo es igual al formado por al otra con el otro lado.
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Demostración
Sean $G,F$ las intersecciones de la bisectriz del ángulo con $PQ,BC$, respectivamente. Por definición de antiparalelas, $\angle{AFB}=\angle{QGA}$. Pero esto sucede si y sólo si $\angle{AQP}=\angle{CBA}$ (los detalles se callan). Como se quería.
Corolario: Los puntos en que dos rectas antiparalelas cortan los lados del ángulo de referencia son concíclicos.
Corolario 2: La recta que une los pies de dos de las alturas de un triángulo, es antiparalela al tercer lado.
Proposición (b): Dos rectas $PQ$ y $BC$ son antiparalelas, respecto al ángulo $BAC$, si y sólo si la imagen de una de ellas en el espejo de la bisectriz es paralela a la otra.
Demostración
Sean $PQ$ y $BC$ las antiparalelas respecto al ángulo $BAC$, y $P',Q'$ las reflexiones de $P,Q$ en el espejo de la bisectriz. Ahora bien, $BC//Q'P'$ si y sólo si $\angle{CBA}=\angle{P'Q'A}$ (correspondientes iguales si y sólo si paralelas).
Pero, dado que los triángulos $APQ$ y $AP'Q'$ son congruentes (los detalles se callan), lo anterior es equivalente a $\angle{CBA}=\angle{AQP}$ (pues, por la congruencia, $\angle{AQP}=\angle{AQ'P'}$).
Como se quería, pues (por el inciso a) ésta es una condición necesaria y suficiente para que las rectas $PQ$ y $BC$ sean antiparalelas.
Proposición (c): La tangente al circuncírculo de un triángulo, por uno de los vértices de éste, es antiparalela al lado opuesto.
Demostración
Por mismo arco interceptado se ve que la tangente forma un ángulo con el lado $AB$ de la misma medida que el que forma $BC$ con el lado $CB$. Sabemos que esta es condición necesaria y suficiente para que sean antiparalelas. El lector no tendrá problema, sin embargo, para demostrar que la condición de la definición original también se cumple. La figura siguiente es casi autoexplicativa. (Nota: Este caso es, de cierta forma, anómalo. Pues la tangente no cruza los lados del ángulo sino que pasa por su vértice --los puntos $P,Q$ de corte a los lados se convirtieron en uno solo.)
Termino después (alguien quiere colaborar?)
Los saluda
jmd