Antes de empezar a leer este blog, se deben de conocer los conceptos de Bisectriz, Mediatriz, Mediana y Altura de un triangulo.
Este tema la verdad es muy sencillo, pero puede llegar a ser muy util tanto para novatos como para experimentados. Veamos de que trata.
Sea $ABC$ un triangulo con $AB=AC$. Si trazamos la perpendicular a $BC$ desde A, esa recta sera mediatriz, bisectriz, mediana y altura. Es todo!! (o bueno no se si literalmente todo), entonces, podriamos decir que es una Todotriz. Este es un quintuple si y solo si, y la demostracion es trivial.
Sea $D$ el punto de interseccion de un segmento cualquiera trazado desde $A$ hasta $BC$.
a) $AD$ es perpendicular. Entonces como $AC$=$AB$, comparten el lado $AD$ y $ADB$=$ADC$=90, $AB^2$ = $AD^2 + DB^2$ = $AC^2 = AD^2 + DC^2$ Entonces $DB$=$DC$, y $\Delta ADC \equiv \Delta ADB$, lo que tambien genera la bisectriz.
b) $AD$ bisectiz. Por LAL, $\Delta ADC \equiv \Delta ADB$. Para el angulo de 90, basta casar angulos. Si <$ABD$ = <$ACD$ = $\alpha$, <$CAD$ = <$BAD$ = 90-$\alpha$ (Para tener 180-2$\alpha$).
c) $AD$ es mediana. Es obvio por LLL que $\Delta ADC \equiv \Delta ADB$.
Ahora, que pasa para la mediatriz. En realidad, vamos a demostrar que si tenemos una mediatriz, tenemos isosceles.
d) $AD$ es mediatriz. Sea A un punto cualquiera en la mediatriz. Unimos $AB$ y $AC$. Por LAL $\Delta ADC \equiv \Delta ADB$.
Repito, este tema no es nada complicado, pero llega a ser realmente util a la hora de resolver problemas, como en mi blog pasado de la geo troll de CARMA XD. Seria todo por hoy.
Los saluda: Sam:p