Esta construcción es algo complicada para ser creada por los alumnos pero es fácil de realizar. La explicación de por qué funciona requiere conocimientos de cuadriláteros cíclicos.
En la siguiente escena interactiva usa los botones ">>" y "<<" para ver paso a paso cómo se construyen las rectas tangentes a una circunferencia (de centro $O$) y que pasan por un punto dado (denotado con $A$).
Explicación
Como $P$ se encuentra en una circunferencia cuyo diámetro es $AO$, entonces podemos aplicar la propiedad del ángulo inscrito en una semicircunferencia y concluir que el ángulo $\angle OPA$ es recto. Por lo tanto, el radio $OP$ es perpendicular a la recta $PA$ y por consiguiente ésta es una tangente.
El mismo argumento aplica para el punto Q.