Primero excluyamos el caso en que $p=2$, pues en ese caso evidentemente $1! \equiv -1 \pmod{2}$.
Para $p \geq 3$, bastará con demostrar que $(p-2)! \equiv 1 \pmod{p}$, pues multiplicando por $p-1 \equiv -1 \pmod{p}$ se llegará al resultado deseado.
Ahora bien, demostraremos que para cada número $ i$ en $\{2, 3, \dots, p-2 \}$ existe un único número $j$ en $\{2, 3, \dots, p-2\}$ tal que $ij \equiv 1 \pmod{p}$.
La existencia de $ j$ se debe a otro teorema que no enunciaré en este momento, pero que en el futuro espero escribirlo. Pero la unicidad es algo que podemos abordar ahora. Supongamos que existe $ j'$ en $\{2, 3, \dots, p-2\}$ tal que $ij' \equiv 1 \pmod{p}$, entonces $ij \equiv ij' \pmod{p}$. Esta congruencia significa que $p | ij -ij' $, pero $ij -ij' = i(j-j')$, entonces $p | i(j-j')$. Como $p$ e $ i$ son primos relativos, por el Lema de Gauss, se concluye que $ p$ debe dividir a $ j -j'$, es decir, $j \equiv j' \pmod{p}$. Como $ j$ y $ j'$ están en $\{2, 3, \dots p-2\}$ se concluye que $j=j'$.
De esta afirmación, se desprende que los $p-3$ número $\{2, 3, \dots, p-2\}$ se aparean en $(p-3)/2$ parejas de tal manera que el producto de cada pareja es congruente con 1 módulo $ p$. En consecuencia, se tiene que $2 \cdot 3 \cdots (p-2) \equiv 1 \pmod{p}$, como se quería demostrar.
Instancia de uso de
Instancia de uso de Wilson:
¿A cuál clase residual módulo 11 pertenece 8! ? (Es decir ¿cuál es el residuo que deja 8! al dividirse entre 11?) Problemas parecidos a éste se resuelven con Wilson... la fuerza bruta ya no funciona con números más grandes.
Primero notemos que -1 está en la clase residual de 10. El novicio debería pensar en una extensión de la tabla de las clases residuales hacia los negativos:
. ..-12
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 ...
Para resolver el problema se puede iniciar sin Wilson diciendo: puesto que 100 pertenece a la clase del 1 lo mismo que 45=9x5 entonces 8! deja el mismo residuo que 8!(9)5(100)=10!(50).
Parecería que a nada hemos llegado pero... ¡aquí es donde entra Wilson!: como 10! deja 10 (por Wilson) y 50 deja 6 entonces llegamos a que 8! deja 5 de residuo al dividir entre 11 (el mismo que deja 60).
Otra forma es iniciar directo con Wilson: 10!=10(9)8!=90(8!)=10(mod 11) --por Wilson. Es decir, 9(8!)=1(mod 11). Ahora ¿cómo elimino el 9 del lado izquierdo? Multiplicando por su inverso ¿no es cierto? Es decir, multiplicando por 5, y el resultado se sigue.
Los saluda