Primero excluyamos el caso en que p=2, pues en ese caso evidentemente 1!≡−1(mod2).
Para p≥3, bastará con demostrar que (p−2)!≡1(modp), pues multiplicando por p−1≡−1(modp) se llegará al resultado deseado.
Ahora bien, demostraremos que para cada número i en {2,3,…,p−2} existe un único número j en {2,3,…,p−2} tal que ij≡1(modp).
La existencia de j se debe a otro teorema que no enunciaré en este momento, pero que en el futuro espero escribirlo. Pero la unicidad es algo que podemos abordar ahora. Supongamos que existe j′ en {2,3,…,p−2} tal que ij′≡1(modp), entonces ij≡ij′(modp). Esta congruencia significa que p|ij−ij′, pero ij−ij′=i(j−j′), entonces p|i(j−j′). Como p e i son primos relativos, por el Lema de Gauss, se concluye que p debe dividir a j−j′, es decir, j≡j′(modp). Como j y j′ están en {2,3,…p−2} se concluye que j=j′.
De esta afirmación, se desprende que los p−3 número {2,3,…,p−2} se aparean en (p−3)/2 parejas de tal manera que el producto de cada pareja es congruente con 1 módulo p. En consecuencia, se tiene que 2⋅3⋯(p−2)≡1(modp), como se quería demostrar.
Instancia de uso de
Instancia de uso de Wilson:
¿A cuál clase residual módulo 11 pertenece 8! ? (Es decir ¿cuál es el residuo que deja 8! al dividirse entre 11?) Problemas parecidos a éste se resuelven con Wilson... la fuerza bruta ya no funciona con números más grandes.
Primero notemos que -1 está en la clase residual de 10. El novicio debería pensar en una extensión de la tabla de las clases residuales hacia los negativos:
. ..-12
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 ...
Para resolver el problema se puede iniciar sin Wilson diciendo: puesto que 100 pertenece a la clase del 1 lo mismo que 45=9x5 entonces 8! deja el mismo residuo que 8!(9)5(100)=10!(50).
Parecería que a nada hemos llegado pero... ¡aquí es donde entra Wilson!: como 10! deja 10 (por Wilson) y 50 deja 6 entonces llegamos a que 8! deja 5 de residuo al dividir entre 11 (el mismo que deja 60).
Otra forma es iniciar directo con Wilson: 10!=10(9)8!=90(8!)=10(mod 11) --por Wilson. Es decir, 9(8!)=1(mod 11). Ahora ¿cómo elimino el 9 del lado izquierdo? Multiplicando por su inverso ¿no es cierto? Es decir, multiplicando por 5, y el resultado se sigue.
Los saluda