Resolver el sistema de ecuaciones (donde a,b son constantes):
Dar, además, las condiciones que deben satisfacer a,b para que las soluciones del sistema x,y,z sean números positivos distintos.
Incorporar la tercera ecuación en la segunda y eliminar x+y de las primeras dos así transformadas. Esto da una solución para z en términos de a,b. Con ello se tienen los valores de x+y y xy en términos de a,b y se procede a analizar la cuadrática t2−(x+y)t+xy=0
Aquí el sistema no es simétrico en las tres variables, pero sí lo es en x,y. Se aprovechará esta simetría para aplicar lo que sabemos de los polinomios simétricos elementales.
Primero observemos que (x+y)2=x2+y2−2xy=x2+y2−2z2 --incorporando la tercera ecuación en la segunda. Esto permite quedarnos con las dos primera ecuaciones en la forma: x+y+z=a (x+y)2−z2=b2 Y se ve que se puede eliminar x+y: b2+z2=(a−z)2. Esto resulta en una cuadrática en z. Mejor dicho, resulta en una ecuación lineal en z pues la z2 se cancela, y se obtiene z=a2−b22a.
(Y sabemos, por la tercera ecuación del sistema, que xy=z2.) Por otro lado x+y=a−z=(2a2−a2+b2)/(2a)=a2+b22a.
Tenemos entonces los valores de x+y y de xy en términos de a y b, y de aquí que (por Vieta) x,y son las raíces de la cuadrática t2−(x+y)t+xy=0. Lo que sigue es aplicar la fórmula general para resolver la cuadrática y analizar el discriminante para determinar las condiciones bajo las cuales las soluciones x,y son números positivos distintos. Lo cual se deja al lector. (Y quizá éste podría desear visitar el sitio de la AoPSWiki, para una solución más completa.)
