2k malitos

a) $C(2k,k)$

b) $C(k,i)\lcdotC(k,k-i)$ --de los $k$ policías se elijen $i$, y de los $k$ funcionarios se eligen los restantes $k-i$ malitos para completar los $k$

c) El lado izquierdo cuenta el número de subconjuntos de tamaño $k$ tomados de un conjunto de tamaño $2k.$ Como nos dicen que esto es igual al lado derecho, y éste es una suma de $k$ términos, se puede sospechar que se tiene que hacer una partición del conjunto de todos los subconjuntos para aplicar el principio aditivo. Aquí hay que conocer la identidad $C(k,k-i)=C(k,i)$ --se deja como ejercicio para el lector googlearla y apreciar el argumento de su demostración combinatoria.

De acuerdo con esta identidad, es claro que  $C(k,i)\lcdotC(k,k-i)=C(k,i)^2$ y la interpretación combinatoria de la identidad se hace evidente. Todos los subconjuntos (su número es el lado izquierdo) se pueden clasificar en las siguientes clases disjuntas: los subconjuntos que tienen solamente funcionarios (0 policías), los que tienen 1 policía, los que tienen 2, etc. hasta llegar a los subconjuntos que tienen $k$ policías (0 funcionarios). Son $n$ clases disjuntas y entre todas cubren todos los subconjuntos, así que se puede aplicar el principio aditivo.