La PGR detuvo a $2k$ presuntos malitos para interrogarlos: $k$ policías y $k$ funcionarios.
a) ¿De cuántas formas se pueden elegir $k$ de ellos para interrogarlos?
Sugerencia
Sugerencia:
Experimenta con valores pequeños de $2k$ y da varios valores a $i$ en el inciso b. Para el c, considera los posibles valores de $i$ y aplica los principios multiplicativo y aditivo.
Solución
Solución:
a) $C(2k,k)$
b) $C(k,i)\lcdotC(k,k-i)$ --de los $k$ policías se elijen $i$, y de los $k$ funcionarios se eligen los restantes $k-i$ malitos para completar los $k$
c) El lado izquierdo cuenta el número de subconjuntos de tamaño $k$ tomados de un conjunto de tamaño $2k.$ Como nos dicen que esto es igual al lado derecho, y éste es una suma de $k$ términos, se puede sospechar que se tiene que hacer una partición del conjunto de todos los subconjuntos para aplicar el principio aditivo. Aquí hay que conocer la identidad $C(k,k-i)=C(k,i)$ --se deja como ejercicio para el lector googlearla y apreciar el argumento de su demostración combinatoria.
De acuerdo con esta identidad, es claro que $C(k,i)\lcdotC(k,k-i)=C(k,i)^2$ y la interpretación combinatoria de la identidad se hace evidente. Todos los subconjuntos (su número es el lado izquierdo) se pueden clasificar en las siguientes clases disjuntas: los subconjuntos que tienen solamente funcionarios (0 policías), los que tienen 1 policía, los que tienen 2, etc. hasta llegar a los subconjuntos que tienen $k$ policías (0 funcionarios). Son $ n $ clases disjuntas y entre todas cubren todos los subconjuntos, así que se puede aplicar el principio aditivo.
