Este problema podría ser explicado más fácilmente con el uso de congruencias, pero como se trata de un problema para primero de secundaria trataré de darle la vuelta a este concepto.
Primero, consideremos cuatro dígitos consecutivos de la lista $a_{i} ,a_{i+1}, a_{i+2}, a_{i+3} $, entonces, se debe satisfacer que 5 divida a $a_i+a_{i+1}+a_{i+2}$ y también a $a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}$. Entonces, se tendrá que 5 divide a la resta: $(a_i+a_{i+1}+a_{i+2}) - (a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3})= a_i - a_{i+3}$.
Una vez visto esto, notemos que si 5 divide a la resta de dos dígitos, entonces, estos dos dígitos son iguales o forman una de las siguientes parejas: {0,5}, {1,6}, {2,7}, {3,8} o {4,9}.
Ahora veamos un ejemplo de cómo usar esto y aprovechar para ilustrar la idea. Supongamos que empezamos a escribir la lista con los dígitos 1 y 2. Luego, el tercer dígito sólo puede ser 2 o 7 (de lo contrario no sumaría un múltiplo de 5). Entonces escribimos
| Posición |
1 |
2 |
3 |
4 |
| Dígito |
1 |
2 |
{2 7} |
? |
donde el símbolo {2 7} denota que en esa posición puede ir el 2 o el 7. Ahora bien, en la posicion 4 debe haber un número que al restar con el 1 sea un múltiplo de 5, esto es, 1 o 6. En consecuencia, la lista se ve así:
| Posición |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| Dígito |
1 |
2 |
{2 7} |
{1 6} |
?? |
Bueno, esto significa que en la posición 4 puede ir el 1 o el 6. De esta manera, la lista, así presentada, representa cuatro inicios válidos de la lista, estas posibilidades son: 1,2,2,1,…; 1,2,2,6…; 1,2,7,1…; 1,2,7,6…
Pasemos ahora al dígito de en la quinta posición. Nuevamete, ese número debe ser tal que al restarle 2 nos queda un múltiplo de 5, por lo que sólo puede tratarse del 2 o el 7. Es decir, la lista puede se ve así:
| Posición |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| Dígito |
1 |
2 |
{2 7} |
{1 6} |
{2 7} |
?? |
Ahora bien, es en el momento de calcular las posibilidades para el número en la posición 6 que se empieza a poner bueno. Pues el dígito en la posición 6 debe ser tal que al restarse con el 2 o con el 7 queda un múltiplo de 5. La maravilla es que en ambos casos las únicas posibilidades son {2,7}. En consecuencia, la lista se ve ahora así:
| Posición |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| Dígito |
1 |
2 |
{2 7} |
{1 6} |
{2 7} |
{2 7} |
?? |
Continuando con este análisis varios pasos más, se obtiene la siguiente lista:
| Posición |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
… |
| Dígito |
1 |
2 |
{2 7} |
{1 6} |
{2 7} |
{2 7} |
{1 6} |
{2 7} |
{2 7} |
{1 6} |
… |
Se observa entonces que la sucesión {2 7}, {1 6}, {2 7} se sigue repitiendo cada vez. En consecuencia, empezando con el 1 y 2, a lo más podemos hacer que aparezcan cuatro dígitos: 1, 2, 6 y 7. Con este ejemplo se observa además que fijando los dos prmeros número de la lista quedan delimitados en dos opciones cada elemento siguiente de la lista.
Ahora bien, ¿qué pasaría si en lugar del 1 pusieramos al 6? La respuesta es, pues nada, la sucesión sería exactamente la misma pero empezando en 6. La razón es que las posibilidades para el dígito en la poscion 3 serian las misma. Lo mismco ocurre si cambiamos al 2 por el 7. Entonces se observa que no importa si empezamos por 1,2; 1,7; 6,2; o 6,7 las posibilidades para el resto de la sucesión serán las mimas. Es por esto que podemos escribir esta sucesión como:
| Posición |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
… |
| Dígito |
{1 6} |
{2 7} |
{2 7} |
{1 6} |
{2 7} |
{2 7} |
{1 6} |
{2 7} |
{2 7} |
{1 6} |
… |
Se observa entonces, la sucesión queda definida al elegir dos de las siguientes cinco posibilidades:
posibilidades de cada elemento de la lista:
{0 5}, {1 6}, {2 7}, {3 8}, {4 9}
Ahora, dadas dos de estas posibilidades se fija la tercera. Por ejemplo, si fijamos {0 5} y {1 6} como las posibilidades para los primeros elementos de la lista, llegamos a que las posibilidades para el tercero sólo pueden ser {4 9}. Tal vez todo esto sea más facil de entender si pensamos las posibilidades de cada elemento de la lista como:
posibilidades de cada elemento de la lista:
$5i, 5j+1, 5k+2, 5l+3, 5m+4$
Donde i, j, k, l y m pueden ser 0 o 1.
Entonces, si ponemos 5i en la primera casilla y 5j +1 en la segunda, entonces en la tercera casilla debe ir 5m +4 pues $5i + (5j+1) + (5m+4) = 5(i+j+m) +5 = 5(i+j+m+1)$ queda múltiplo de cinco.
Luego, ya fijados los tres elementos en la lista, se repiten las posibilidades en cada elemento siguiente. Por lo que, a lo más puede haber seis posibilidades, por ejemplo:
| Posición |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
… |
| Dígito |
{0 5} |
{1 6} |
{4 9} |
{0 5} |
{1 6} |
{4 9} |
{0 5} |
{1 6} |
{4 9} |
… |
Con el caso anterior se logra la lista de 6 posibilidades, sólo hay que asegurarse que aparezcan los seis elementos desde el principio:
5, 6, 9, 0, 1, 4, 0, 1, 4, 0, 1, 4, 0, 1, 4, 0, 1, 4, 0, 1
