Caracterización del ortocentro

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Demostrar que un punto P en el interior de un triángulo acutángulo XYZ es el ortocentro de éste si y sólo si 

  • XP es perpendicular a YZ, y 
  • el reflejo de P en el lado YZ pertenece al circuncírculo de XYZ.



Imagen de el colado

 Demostración:   Sea el

 Demostración:

"⟹" 

Sea P el ortocentro del triángulo XYZ. Tenemos entonces que XP es perpendicular a YZ. Sean E y D los pies de las alturas desde Z y X, respectivamente. Entonces como XEZ=ZDX=90 tenemos que XEDZ es cíclico, de ahí que EXD=DZE=α. Sea Q el reflejo de P sobre YZ. Como PD=DQ y PDYZ, el triángulo PQZ es isósceles con PZ=QZ, así, PZD=DZQ=α. Por lo tanto, como YZQ=YZQ=α decimos que el cuadrilátero YXZQ es cíclico, es decir, que Q se encuentra en el circuncírculo de XYZ.

"⟸"

Sea Q un punto sobre el arco YZ del circuncírculo del triángulo XYZ tal que XQYZ. Sean D la intersección de XQ con YZ, P el reflejo de Q sobre YZ y E la intersección de YP con XZ. Como P es el reflejo de Q, tenemos que XPYZ y que PD=DQ. Con esto obtenemos que PYQ es isósceles y por tanto, PYD=DYQ=β. Como ZYQ abre el mismo arco que ZXQ deducimos que ZXQ=β. Sea α=XQY, entonces DPY=α=XPE por ser ángulos opuestos por el vértice. Así obtenemos finalmente que XDY=YEX=90 lo que implica que YE y XD son alturas, y por tanto, P es el ortocentro del triángulo XYZ. ▄

Un saludo.