
Demostrar que un punto P en el interior de un triángulo acutángulo XYZ es el ortocentro de éste si y sólo si
- XP es perpendicular a YZ, y
- el reflejo de P en el lado YZ pertenece al circuncírculo de XYZ.
Ver también:
Ortocentro
Ver también:
Ortocentro, reflexión axial, circuncírculo
Demostración: Sea el
Demostración:
"⟹"
Sea P el ortocentro del triángulo XYZ. Tenemos entonces que XP es perpendicular a YZ. Sean E y D los pies de las alturas desde Z y X, respectivamente. Entonces como ∠XEZ=∠ZDX=90 tenemos que XEDZ es cíclico, de ahí que ∠EXD=∠DZE=α. Sea Q el reflejo de P sobre YZ. Como PD=DQ y PD⊥YZ, el triángulo PQZ es isósceles con PZ=QZ, así, ∠PZD=∠DZQ=α. Por lo tanto, como ∠YZQ=∠YZQ=α decimos que el cuadrilátero YXZQ es cíclico, es decir, que Q se encuentra en el circuncírculo de XYZ.
"⟸"
Sea Q un punto sobre el arco YZ del circuncírculo del triángulo XYZ tal que XQ⊥YZ. Sean D la intersección de XQ con YZ, P el reflejo de Q sobre YZ y E la intersección de YP con XZ. Como P es el reflejo de Q, tenemos que XP⊥YZ y que PD=DQ. Con esto obtenemos que PYQ es isósceles y por tanto, ∠PYD=∠DYQ=β. Como ∠ZYQ abre el mismo arco que ∠ZXQ deducimos que ∠ZXQ=β. Sea α=∠XQY, entonces ∠DPY=α=∠XPE por ser ángulos opuestos por el vértice. Así obtenemos finalmente que ∠XDY=∠YEX=90 lo que implica que YE y XD son alturas, y por tanto, P es el ortocentro del triángulo XYZ. ▄
Un saludo.