
Sea ABCD un cuadrilatero tal que los angulos internos en los vertices A, B, y C son de cuarenta y cinco grados. Demostrar que los puntos medios de los lados del cuadrilatero determinan un cuadrado.
Propuesto por: Fernando
Sea ABCD un cuadrilatero tal que los angulos internos en los vertices A, B, y C son de cuarenta y cinco grados. Demostrar que los puntos medios de los lados del cuadrilatero determinan un cuadrado.
Propuesto por: Fernando
Este problema me lo propuso
Este problema me lo propuso anoche Fernando, y quede con el de ponerlo en MaTeTaM junto con mi solucion, asi que ahi les va..primero la figura
Consideremos el triangulo
Consideremos el triangulo ABC, es facil demostrar que AD y CD son alturas de dicho triangulo, de ahi es claro que D es el ortocentro del triangulo. Sea M la interseccion de la recta AD con BC, y E la interseccion de la recta BD con AC, s claro que el cuadrilatero ABME es ciclico, de ahi tenemos que
∠MAC=∠MAE=∠MBE=∠MBD
de ahi es clara la semejanza de los triangulos BMD y AMC, ademas es facil comprobar que el triangulo DMC es un triangulo rectangulo e isoseles(posee un angulo recto y uno de 45) de ahi tenemos que MD=MC por lo que los triangulos BMD y AMC son congruentes, de ahi AC=BD
Sean P,Q,R,S los puntos medios de los lados AB,BC,CD,DA, respectivamente, por thales es facil probaro por varignon es facil ver que:
PQ=RS=AC2=BD2=QR=SP de ahi el cuadrilatero PQRS es un rombo, ademas las diagonales del cuadrilatero ABCD son perpendiculares(BD y AC) ya que D es el ortocentro del triangulo ABC, de ahi es facil ver que los angulos en PQRS son equivalentes a los que forman las rectas AC u BD....por que? de ahi PQRS es un rectangulo....pero como tambien es rombo se sigue que es cuadrado y terminamos.
Bueno espero y este algo clara, no la pude detallar mucho, por falta de tiempo, pero lo prometido es deuda, asi que subo la sol.
Luego me enseñas tu solucion Fernando, o me dices con que idea lo resolviste, Saludos!!!
El problema de la discucion
El problema de la discucion de hoy!!!!!!
lo ves fernando si estaba posteado!!!!!!!!!
checa la fecha